Змістовний модуль №2 Лекційні заняття

Тема 6. Лінійні простори.

Аксіоми лінійного простору. Лінійна залежність і незалежність. Базиси, вимірність. Лінійні операції в координатах. Ізоморфізм лінійних просторів. Координатний простір. Лінійний підпростір. Лінійна оболонка. Евклідів простір. Скалярний добуток векторів. Норма вектора. Ортонормовані системи векторів. Метод ортогоналізації. Ортогональні підпростори. Ортогональна сума підпросторів. Ортогональне доповнення до підпростору.

Тема 7. Лінійні оператори.

Лінійні оператори на лінійних просторах. Матриця лінійного оператора в заданому базисі та її зміна при переході до нового базису. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Базис з власних векторів. Оператори простої структури. Лінійні оператори в евклідовому просторі. Ортогональна матриця та ортогональний оператор. Симетричний оператор та його властивості.

Тема 8. Квадратичні форми. Квадратичні форми. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Додатно визначені і від’ємно визначені квадратичні форми. Теорема Сільвестра.

Практичні заняття

1. Лінійна залежність і незалежність. Базиси і вимірність лінійного простору. Лінійні операції в координатах.

2. Евклідів простір. Скалярний добуток векторів. Норма вектора. Ортонормовані системи векторів. Метод ортогоналізації. Ортогональні підпростори і суми підпросторів.

3. Лінійні оператори. Матриця лінійного оператора в заданому базисі та її перетворення при зміні базису.

4. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Перетворення матриць простої структури до діагонального виду. Степінь матриці.

5. Симетричний оператор. Побудова ортогональних і ортонормованих базисів з власних векторів симетричного оператора.

6. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду ортогональним перетворенням Знаковизначені квадратичні форми.

Самостійна робота.

(Перелік питань винесених на самостійне вивчення студентом з вказанням тем)

1. Сума підпросторів. Пряма сума підпросторів [1, стр. 1118-119].

2. Відстань вектора від підпростору. Матриця та визначник Грама, геометричне тлумачення. Унітарний простір [1, стр. 128-131, 133].

3. . Унітарна матриця та оператор [1, стр. 177-178]..

Індивідуальна робота

1. Виконання розрахункової роботи на тему “Лінійні оператори.”.

Змістовний модуль №3 Лекційні заняття

Тема 9. Криві другого порядку. Поверхні другого порядку.

Криві на площині. Алгебраїчні криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола і їх канонічні рівняння. Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду Класифікація кривих другого порядку. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку. Зведення до канонічного вигляду загальних рівнянь поверхні другого порядку.

Тема 10. Додаткові питання теорії матриць і лінійних систем.

Спряжений оператор, його властивості. Ядро і образ матриці. Співвідношення між ядрами і образами спряжених матриць. Теорема Фредгольма про розв’язність лінійних систем. Скелетний розклад матриці. Узагальнений розв’язок та псевдорозв’язок лінійної системи, геометричне тлумачення. Теореми про псевдорозв’язок лінійної системи. Псевдообернена матриця, її властивості. Подібність матриць. Канонічні форми матриць. Умова простоти структури матриці. Блочні матриці, дії з ними. Степені блочно-трикутних матриць Теорема Шура про унітарну тріангуляцію матриці. Висновок з теореми Шура. Нільпотентна матриця, властивості. Геометричний зміст канонічного базису при його перетворенні клітиною Жордана. Жорданів базис. Теорема про існування жордановаб азиса для нільпотентної матриці. Жорданова нормальна форма матриці. Теорема Гамільтона-Келі. Мінімальний багаточлен матриці.

Практичні заняття

1. Алгебраїчні криві другого порядку. Обчислення основних параметрів кривих другого порядку.

2. Зведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду. Побудова кривих другого порядку.

3. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку. Зведення до канонічного вигляду загальних рівнянь поверхні другого порядку

4. Ядро і образ матриці. Співвідношення між ядрами і образами спряжених матриць.

5. Теорема Фредгольма про розв’язність лінійних систем. Скелетний розклад матриці.

6. Узагальнений розв’язок та псевдорозв’язок лінійної системи

7. Псевдообернена матриця, її властивості.

8. Умова простоти структури матриці.

9. Блочні матриці, дії з ними. Степені блочно-трикутних матриць

10. Теорема Шура про унітарну тріангуляцію матриці.

11. Жорданова нормальна форма матриці.

12. Жорданова нормальна форма матриці.

13. Теорема Гамільтона-Келі. Мінімальний багаточлен матриці.

Самостійна робота.

(Перелік питань винесених на самостійне вивчення студентом з вказанням тем)

1. Інваріанти кривих і поверхонь другого порядку [1, стр. 219-221].

2. Інваріантні підпростори лінійного оператора. [1, стр. 172-174].

3. Спектральний розклад симетричного оператора [1, стр. 175-177].