Московский государственный институт

международных отношений (Университет)

МИД России

Д.А.Дегтерев

Конспект лекций по дисциплине

«Теория игр для международников и политологов»

Москва – 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ:

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР 3

Лекция 1. Классификация игр и формы их представления 3

Лекция 2. Решение бескоалиционных игр в чистых стратегиях 12

Лекция 3. Игры в смешанных стратегиях 21

Раздел 2. Теоретико-игровой анализ международных отношений 29

Лекция 4. Простые игровые модели международных конфликтов 29

Лекция 5. Игры с неполной информацией и дезинформацией 37

Лекция 6. Динамические модели переговоров 44

РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ИГР И ПОЛИТОЛОГИЯ 50

Лекция 7. Применение теории игр к анализу выборов и голосования в коллективных органах 50

РАЗДЕЛ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР В ЭКОНОМИКЕ 62

Лекция 8. Модели конкуренции и оптимизация сотрудничества 62

Раздел 1. Основные понятия теории игр Лекция 1. Классификация игр и формы их представления

1. История развития теории игр

2. Связь теории игр с другими дисциплинами

3. Применение теории игр к анализу международных отношений и в политологии

4. Ограничения применения теории игр

5. Основные понятия теории игр. Типы игр и их взаимосвязь

6. Нормальная форма представления игры

7. Описание игры в виде графа

1. С глубокой древности люди пытались с помощью игры отобразить особенности отношений между разными людьми, человеком и окружающим его миром, между разными странами и народами. Достаточно, например, вспомнить, как называются отдельные шахматные фигуры или карты, чтобы понять связь этих игр с взаимоотношениями двух стран. Однако длительное время такого рода игры существовали просто как салонные игры (parlor games), скорее для развлечения, чем для анализа международных отношений. Такие игры, как шахматы и бридж даже относят к спортивным состязаниям и планируют их включить в программу олимпийских игр. В этом смысле теория игры в шахматы разумеется мало что дает для политологии. Как известно, всякая наука достигает совершенства лишь тогда, когда от традиционного историко-описательного (интуитивно-логического) подхода она переходит к операционально-прикладному (аналитико-прогностическому) подходу. Операционально-прикладной подход связан с применением методов точных наук, формализацией, исчислением данных (квантификацией), верифицируемостью выводов и пр. Сам факт использования указанного подхода говорит о том, что данная научная дисциплина обретает операционально-прикладной характер, что возможно лишь на определенном, достаточно высоком этапе ее развития.

В теории игр это произошло в 1928 г., когда в математическом журнале была опубликована статья Дж.Неймана «К теории стратегических игр». Тогда было показано, что для описания конфликтных отношений между несколькими сторонами в человеческом обществе необходимо применять весьма своеобразный математический аппарат. Если в физике, например, используются в основном дифференциальные уравнения, то в теории игр удобнее оказалось использовать понятия теории множеств. В частности, было развито представление игр с помощью графов (так называемое «дерево игры»).

В целом, период до 1944 г. (период «до монографии») для теории игр носил предварительный характер – был опубликован ряд статей, в т.ч. в XIX веке, которые явились своего рода прелюдией к работе Дж. фон Неймана. К ним можно отнести следующие публикации:

• «Исследование математических принципов теории богатства» (А.Курно, 1838);

• Работы Бертрана, Лаунхарда, Эджуорта (экономисты XIX века);

• «О применении теории множеств к теории шахматной игры» (Е.Цермело, 1913);

• «Теория игр и интегральные уравнения с кососимметричными ядрами» (Э.Борель,1921);

• «Определения теории игр и преследования» (Штейнгауз, 1925);

• «Über eine Schlussweisse aus dem Endlichen ins Unedliche» (Д.Кениг, 1927);

• «К теории стратегических игр» (Дж. фон Нейман, 1928).

В 1944 г. Дж.фон Нейман в соавторстве с экономистом О.Моргенштерном опубликовал весьма обстоятельно написанную монографию «Теория игр и экономическое поведение», которая была в 1970 г. издана в СССР на русском языке под редакцией Н.Н.Воробьева. Помимо моделирования конкуренции и других особенностей экономического взаимодействия сторон, там рассматривается и возможность описания в терминах теории игр взаимодействия между общественными организациями. Именно с этих позиций удается описать многообразие норм поведения в обществе, когда устойчивыми являются сразу несколько типов устройства общества.

В теории игр этому соответствует устойчивость (равновесие) по Нэшу, которая может иметь место сразу для нескольких наборов стратегий игроков. Она была открыта Дж.Нэшем несколько позже в 1950 г. и изложена в его докторской диссертации (на 27 стр.), защищенной в Принстонском университете. То есть теория игр допускает неединственность решения, множественность приемлемых альтернатив. Позднее теория игр использовалась в самых разных областях науки, в том числе в политологии и в теории международных отношений. За теоретико-игровой подход при анализе возможных сценариев развития отношений между СССР и США во времена холодной войны Т.Шеллинг получил Нобелевскую премию в 2005 г. Вышеупомянутый Нэш, кстати, тоже нобелевский лауреат. Вместе с Шеллингом Нобелевскую премию в 2005 г. за использование теории игр в экономике получил Роберт Ауман, а в 1994 г. вместе с Нэшем Нобелевскую премию получили Р.Зельтен и Дж.Харшаньи. Таким образом, использование теории игр в моделировании процессов, происходящих в обществе, весьма актуально.

В 1950-70 гг. – золотой век теории игр, многие разработки которой связаны с деятельностью американской РЭНД-Корпорэйшн. В этот период доминировали теоретические положения Дж. фон Неймана и О.Моргенштерна (игры с нулевой суммой и коалиционные игры). В этот период началось и разочарование, связанное со сложностью прикладного применения теории игр (разрыв между теорией и практикой), а также с цинизмом теории игр при анализе конфликтных ситуаций.

С 1970-х гг. и по настоящее время теория игр занимается преимущественно анализом бескоалиционных игр, а центральной концепцией ее стало равновесие по Нэшу. В настоящее время теория игр широко используется, например, как при прогнозировании результатов выборов, так и при определении оптимальной предвыборной платформы той или иной партии. При заключении коалиционных соглашений также полезно провести предварительно теоретико-игровой анализ на предмет оценки приемлемых компенсационных уступок со стороны правящей партии. Вместе с тем надо всегда помнить, что игра – это математическая модель реальной ситуации, в которой все многообразие действующих факторов сводится лишь к одному критерию - выигрышу. На самом деле людям свойственно учитывать сразу несколько критериев, которые не всегда удается выразить одним числом. Например, в те же азартные игры часто играют не столько с целью заработать на этом, сколько из других соображений (азарт, общение и т.д.). Поэтому многое у теории игр еще впереди, как в плане новых фундаментальных результатов, так и в области их приложения к различным сферам деятельности.

2. Теория игр являет собой математическую теорию анализа стратегического поведения (взаимодействия сторон, конфликтов). Как математическая теория она использует инструментарий математических наук. По сфере своего применения – взаимодействие индивидуумов (групп индивидуумов) – это область общественных (социальных) наук. В этой связи смежные математические науки для теории игр это:

• Теория принятия решений – в рамках анализа экстенсивной формы игры;

• Теория вероятностей / математическая статистика - в рамках анализа «игр с природой»;

• Линейная (векторная) алгебра – в рамках использования матричного подхода для нормальной формы игры и вектора выигрышей игр с большим числом игроков;

• Теория множеств – в рамках доказательства теорем теории игр (в т.ч. центральной – о минимаксе);

• Исследование операций – теория игр как частный случай оптимизации работы системы из n-игроков, что изучается в рамках исследования операций.

Смежные общественные науки для теории игр это:

• Теория рационального выбора – в рамках определения рациональности поведения участников игры;

• Теория социального и общественного выбора – в рамках анализа механизма формирования и распада коалиций;

• Теория прав собственности (теория контрактов) – в рамках определения правил игры;

• Экспериментальная экономика – в рамках проверки положений теории игр.

3. Теория игр достаточно широко используется при анализе международных отношений и в политологии. В международных отношениях теоретико-игровой подход характерен при изучении вопросов контроля над вооружениями, разоруженческой проблематики, анализа военно-политических конфликтов, политика устрашения (угрозы), соблюдения международных соглашений, ведения международных переговоров. В политологии данный подход применяется для прогноза итогов голосования, оптимизации предвыборной платформы при известном политическом спектре избирателей, анализа парламентских (политических) коалиций, анализа процесса принятия решений в коллегиальных органах (с учетом квот).

Наиболее известные работы по использованию теории игр в международных отношениях – «Стратегия конфликта» Томаса Шеллинга (написана в 1960 г., Нобелевская премия по экономике 2005 г.); в политологии – «Теория игр и политическая теория» Петера Ордешука (написана в 1986 г.). На русском языке популяризацией работ П.Ордешука занимается Ф.Т.Алескеров, опубликовавший с ним совместные работы, а также оригинальные работы, в т.ч. касающиеся коалиций в Государственной думе Российской Федерации.

4. Теория игр представляет собой инструмент анализа (и лишь в редких случаях – решения) конфликтных ситуаций между двумя и более сторонами. Прикладное применение теории игр связано с целым рядом ограничений:

• В теории игр ситуация оптимизируется лишь по одному критерию (выигрышу), в реальности – решение ищется во многокритериальном пространстве;

• Неполная информация о реальном количестве игроков, об участии игроков сразу в нескольких играх, о выигрыше противника;

• Сложность количественной оценки выигрышей при построении матрицы игры;

• В реальности рациональность выбора людей носит ограниченный характер, зависит от убеждений, моральных норм, обстоятельств;

• На принятие решения влияют не только сами лидеры, но и группы экспертов, окружение (фактически решения принимаются не теми лицами, кто формально отвечает за это);

• Роль «человеческого» фактора при реализации решений, принятых на высоком уровне

• Техническая сложность решения игр в чистых стратегиях при большом числе стратегий (например, шахматы);

• Техническая сложность решения игр в смешанных стратегиях при числе стратегий свыше 10 (невозможность обработки данных в стандартных математических программах);

• Игры с числом игроков 5 и более имеют строгое математическое решение лишь в частных случаях.

5. Принято подразделять игры по разным типам в зависимости от их специфики. Главным с точки зрения теории игр является число игроков n, участвующих в игре. Наиболее разработана теория парных игр, в которых n=2. К ним относятся те же шахматы, крестики-нолики, морской бой. При n>2 ситуация принципиально усложняется возможностью образования коалиций между игроками, что требует рассмотрения всех возможных вариантов коалиций и вычисления сумм компенсаций, удовлетворяющих всех членов коалиционного соглашения. К таким относятся многие карточные игры, например, преферанс и бридж. Среди непарных игр соответственно выделяют коалиционные и бескоалиционные игры. Следующим по важности обстоятельством являются суммы выигрышей и проигрышей в игре. Самые простые игры – это те, в которых выигрыш одной стороны равен проигрышу другой. Такие игры принято называть играми с нулевой суммой. А парные игры с нулевой суммой называют антагонистическими играми. Среди игр с нулевой суммой выделяют также игры, в которых средний выигрыш каждого игрока при разумном поведении равен нулю – это безобидные игры. Ясно, что возможны ситуации, когда в результате достигнутого соглашения выигрывают сразу несколько сторон, причем их выигрыши могут различаться. Им соответствуют игры с ненулевой суммой. В теории показывается, что игра с n игроками и ненулевой суммой сводится к игре с n+1 игроками и с нулевой суммой.

По числу ходов игры подразделяют на одномоментные и многоходовые. В теории рассматриваются в основном одномоментные игры, так как любую последовательность ходов можно представить как одномоментный выбор стратегии поведения. Например, шахматную партию из 40 ходов можно представить в виде списка ходов каждого игрока. Выбор хода или стратегии может выражать желание игрока (личный ход) или быть результатом жребия(случайный выбор). Заметим, что и при личном ходе противника для первого игрока остается фактор неопределенности – какую стратегию тот выберет. Именно игры со случайными ходами (карточные, рулетка) были основным предметом изучения теории игр до 20-го века. Скажем, вычисляли вероятность различных раскладов в преферансе, что позволяло оценить риск, например, появления четвертого валета по одной масти у противника. Сейчас это скорее область применения теории вероятностей, чем классической теория игр.

Выделяют также дискретные игры, в которых выбор производится не из непрерывного множества допустимых значений, а из заданного набора отдельных альтернатив. В зависимости от цели игры рассматривают игры качества и игры степени. В играх качества для каждой из сторон исход игры фактически двузначен – да или нет (победил-проиграл), тогда как в играх степени желательность исхода игры определяется значением численного параметра (плата, выигрыш). В последнем случае один игрок стремится его максимизировать, а другой - минимизировать. Именно к такому типу игр относятся наиболее изученные парные игры с нулевой суммой.

6. Нормальная форма представления игры обычно применяется для парных игр. В этом случае всегда можно построить так называемую платежную матрицу, которую называют также матрицей выигрышей. Пусть у первого игрока m возможных стратегий, а у второго – n. Рассмотрим самую простую игру – с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Именно так происходит в большинстве азартных игр. В соответствии с правилами игры известно, что при выборе первым игроком i-й стратегии, а вторым игроком - j-й стратегии выигрыш первого игрока равен некоторой сумме, которую обозначим аij. Разумеется, выиграть может и второй игрок, тогда эта величина будет отрицательной, символизируя проигрыш первого игрока. Очевидно, из таких значений можно составить матрицу размерности m x n, которая и является платежной матрицей. Такая матрица полностью описывает игру и поэтому ее называют представлением игры в нормальной форме. Каждый ее элемент представляет собой выигрыш первого игрока при определенной ситуации. Это же число соответствует проигрышу второго игрока в этом случае. Рассмотрим составление таких матриц на примере некоторых простых игр.

Пример 1

Играет 2 человека. Они одновременно показывают от 1 до 3 пальцев. Если общее число пальцев четное – выиграл первый игрок, причем выигрыш равен этому же числу, например, в рублях Соответственно такой же получается проигрыш у второго игрока. Если сумма пальцев оказалась нечетной, то выиграл второй игрок и сумма выигрыша тоже равна числу пальцев. Поэтому в матрицу записывается эта сумма с минусом, как проигрыш первого игрока. Это игра с нулевой суммой, у каждого игрока по 3 стратегии: показать 1 палец, 2 или 3.. Соответственно в нормальной форме она представляется матрицей 3 х 3, которая имеет вид:

2	-3	4
-3	4	-5
4	-5	6

Пример 2

Та же игра, но вместо выбрасывания пальцев (а это личный ход) каждый игрок бросает игральную кость (кубик), после чего подсчитывается общее число очков. Теперь у каждого игрока по 6 стратегий, но выбор одной из них делается случайным образом. Соответствующая матрица игры имеет размерность 6 х 6, ее элементы представляют собой выигрыш первого игрока (знак минус означает проигрыш):

2	-3	4	-5	6	-7
-3	4	-5	6	-7	8
4	-5	6	-7	8	-9
-5	6	-7	8	-9	10
6	-7	8	-9	10	-11
-7	8	-9	10	-11	12

7. Основоположник теории игр Дж. фон Нейман понимал под нормальной формой многоходовой игры ее представление в виде одноходовой. В том смысле, что игрок сразу выбирает всю последовательность ходов. Эту последовательность он и называл стратегией. Такой подход позволяет перейти к матрице игры и существенно упрощает доказательство необходимых теорем теории игр. Однако для детального анализа конкретной игры очевидно необходимо рассматривать каждый ее ход. Для этого служит позиционное (развернутое) представление игры как альтернатива нормальной формы. Обычно в этом случае используют изображение игры в виде графа. Этот подход аналогичен построению дерева решений в теории принятия решений. Для многоходовой игры такая развернутая (экстенсивная) форма представления имеет вид дерева игры, на каждом разветвлении которого тот или иной игрок делает очередной выбор (ход). При нормальном представлении той же игры считается, что игра одномоментная и под стратегией игрока понимают сразу всю последовательность ходов от начальной точки до конечной (одну из ломаных линий). Например, рассмотрим игру с нулевой суммой вида:

( Рис.1 из семинаров )

Здесь первый и второй игроки делают по одному ходу, причем первый выбирает из трех стратегий, а второй – из двух. Пунктир означает, что второй игрок делает ход, не зная хода первого игрока. Игре соответствует нормальная форма:

5. 10

15. 20

25 30

Если та же игра с ненулевой суммой, то у конечных стрелок указывают два числа. то есть вместо 5 пишут, например (5, 7), где второе соответствует выигрышу второго игрока. Соответственно в матрице игры тоже вместо элементов указывают пары чисел. Такие игры называют еще биматричными, так как для каждого игрока выписывается своя матрица выигрышей. Причем возможны ситуации, когда выигрывают оба игрока, то есть проигравшего вообще нет. Собственно это и называется термином взаимовыгодные отношения.

Вопросы:

1. Математические модели принятия решений в условиях конфликтов и их теоретико-игровое представление.

2. Понятие о стратегиях (альтернативах) игроков. Конечные и бесконечные игры. Дискретные игры.

3. Игры качества и игры степени.

4. Чистые и смешанные стратегии. Вероятностный выбор стратегии и вероятные последствия выбранной чистой стратегии.

5. Одномоментные и многоходовые игры.

6. Понятие личного и случайного хода в игре. Азартные и стратегические игры.

7. Зависимость выигрыша (платежа) от выбранной стратегии. Построение таблицы выигрышей и определение функции выигрыша.

8. Необходимость учета альтернатив противника.

9. Взаимосвязь выигрышей играющих сторон. Игры с нулевой и ненулевой суммой. Антагонистические игры.

10. Примеры игр с ненулевой суммой. Биматричные игры.

11. Игры с природой, парные и множественные игры.

12. Коалиционные и бескоалиционные игры.

13. Построение матрицы парной игры с нулевой суммой. Анализ возможного поведения игроков.

14. Построение.дерева решений. Дерево игры. Аналогия с поочередным передвижением фишки в настольной игре.

15. Нормальная и экстенсивная формы представления игры. Преобразование одной формы в другую.

Литература

Учебные пособия и монографии:

1. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 68 с.

2. Вильямс Дж.Д. Совершенный стратег или букварь по теории стратегических игр: Пер. с англ. – М.: Советское радио, 1960. – 269 с.

3. Данилов В. Лекции по теории игр: Конспект лекций. - М.: Российская экономическая школа, 2002. – 140 с.

4. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. – М.: Наука, 1970. – 708 c.

5. Олейнов А.Г. Введение в экономический анализ политических процессов: Учебное пособие. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 144 с.

6. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов: Вводный курс: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во европейского университета в Санкт-Петербурге, 2001. – 253 с.

7. Brams Steven J. Game Theory and Politics. Dover Publications, 2004.

8. Haywood O.G. Military Doctrine of Decision and the Von Neumann Theory of Games. Rand Corporation, 1951.

9. Poundstone W. Prisoner’s Dilemma. Anchor Books, 1992.

10. Watson J. Strategy. An Introduction to Game Theory. W.W.Norton & Company, 2002.

Статьи в периодических изданиях:

11. De Bruin B. Reducible and Nonsensical Uses of Game Theory. Philosophy of the Social Sciences, Volume 38, No. 2, June 2008, pp. 247-266.

12. Stone Randall W. The Use and Abuse of Game Theory in International Relations: The Theory of Moves. - Journal of Conflict Resolution, Vol. 45, No.2, April 2001, pp. 216-244.