Задачи линейного программирования

Задачей линейного программирования (ЛП) называется задача оптимизации линейной функции при наличии линейных ограничений:

(6)

при условии

Ах = b, x_i  0, i = 1, 2, …, n, (7)

где x - вектор неизвестных управляемых переменных;

с - постоянный вектор, часто трактуемый как цены;

b - постоянный вектор, обычно трактуемый как ресурсы;

A = (a_ij) - прямоугольная матрица размера m  n

В этой задаче число неизвестных n должно быть больше числа условий m, иначе будет нарушено условие единственности решения, выполняющееся в оптимизационной задаче. Предприятию необходимо выпустить номенклатуру из видов продукции в объемах (неизвестных) x_i,_, i = , используя видов ресурсов b_j, j = Для выпуска одной единицы изделия вида требуется a_i,j ресурсов вида j. Тогда при выпуске изделий расход не должен превышать его запасов b_j. В соответствии с этим имеем следующую систему неравенств:

( 8)

Введением дополнительных переменных x_n+1, x_{n+2, …,} x_n+m, каждая из которых представляет неотрицательную величину – величину неиспользованного ресурса b_j, систему неравенств (8) можно свести к системе равенств:

(9)

Аналогично поступают с обратными неравенствами – в этом случае вычитают дополнительную переменную, преобразуя неравенство в равенство. Теперь любой вектор х, удовлетворяющий уравнению (9), представляет собой допустимую стратегию, а поскольку такая стратегия не единственная (число неизвестных больше числа уравнений), то актуальной задачей является отыскание наилучшей стратегии, обеспечивающей максимальную прибыль от реализации всего объема выпускаемой продукции.

Для этого нужно максимизировать критерий эффективности:

(10)

где с_i – прибыль от реализации продукции вида i.

На рис. 12 представлен документ MathCAD, содержащий решение этой задачи.

Рисунок 12. Задача об оптимальной производственной программе

Порядок выполнения лабораторной работы 2

Для выполнения лабораторной работы в качестве производственной функции взять функцию Кобба-Дугласа:

1. Построить график производственной функции Кобба-Дугласа при t=1 и t=3 (t – период времени).

, при t=1 и t=3.

2. Построить график предельной производительности труда при t=1 и t=3.

3. Построить график предельной производительности капитала при фиксированном значении t.

4. Вычислить предельную норму замещения ресурсов и построить график при фиксированном значении t: MRS= ( .

Лабораторная работа 3. Решение задачи об оптимальной транспортной программе

Есть n пунктов отправления, в которых имеются запасы производственной продукции в количествах a_i,, i = , есть m пунктов назначения с заявками на производственную продукцию в количествах b_j, j =

Если то имеем задачу с правильным балансом. При невыполнении этого условия вводим дополнительный фиктивный пункт отправления или назначения, емкость которого равна положительной разности между этими суммами. Стоимость доставки единицы грузов из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения составляет величину c_ij, причем затраты, связанные с фиктивными пунктами, должны быть нулевыми.

Тогда минимальные затраты на выполнение плана перевозок определятся минимизацией суммарных затрат на перевозки:

(11)

при условиях:

(12)

В (12) n первых условий предусматривают, что все грузы из всех пунктов отправления должны быть вывезены, а последние m условий – что все заявки во всех пунктах назначения должны быть выполнены.

На рис. 13 представлен документ MathCAD, содержащий решение этой задачи.

 Нажать Programming, Add line, for

Добавить в задаче

y =

Рисунок 13. Задача об оптимальной транспортной программе

F(y) =