1.1.4 Алгебраический подход.

Семантика произвольной формулы исчисления высказываний полностью определяется её таблицей истинности. Разные формулы могут иметь одну и ту же семантику.

Для логических формул важно уметь обнаруживать эквивалентность двух различно представленных объектов.

Определение. Две формулы назовём эквивалентными (равносильными), если для любых наборов значений переменных они принимают одинаковые значения.

А º В тогда и только тогда, когда ú= АÛ В.

Чтобы преобразовать логическую формулу в равносильную полезно знать «замечательные тождества», которые задают различные способы представления объекта.

Замечательные тождества.

I. Законы булевой алгебры. Математик Джордж Буль (1815–1864) описал алгебру, основанную на операторах И, ИЛИ и НЕ.

Закон двойного отрицания (инволюция): ØØA º A;

Законы коммутативности:

6. A & B º B & A,

7. A Ú B º B Ú A;

8. Законы ассоциативности:

9. A & (B & C) º (A & B) & C,

10. A Ú (B Ú C) º (A Ú B) Ú C;

11. Законы дистрибутивности:

12. A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C),

13. A Ú (B & C) º (A Ú B) & (A Ú C);

14. Свойства констант:

15. A &1º A,

16. A & 0 º 0,

17. A Ú 1 º 1,

18. A Ú 0 º A.

19. Закон идемпотентности: A & A º A; AÚ A º A.

II. Законы де Моргана:

Ø (A & B) º ØA Ú ØB;

Ø (A Ú B) º ØA & ØB.

III. Другие замечательные тождества.

Связь операций:

A Þ B º ØA Ú B,

A Û B º (A Þ B) & (ВÞА),

A & В º Ø(A Þ ØB),

A Ú В º ØA Þ B,

A Þ ØB º В Þ ØА.

6. Закон контрапозиции: A Þ B º ØB ÞØA.

7. Закон противоположности: A Û B º ØA Û ØB

Используя эти равносильности можно по данной формуле построить ей равносильные или эквивалентные.

Примеры.

1. (A Ú A) & B Ú A º A & B Ú A º A& B Ú A & 1 º A& (B Ú 1) º A & 1º A.

2. B(Ø A & B) º ØB Ú (Ø A & B) º (ØB Ú ØA)&(ØB v B) º(ØB Ú ØA) &1º º(ØB Ú ØA) º Ø (B & A).

1.1.5 Дизъюнкты и нормальные формы

Бывает полезно преобразовать заданную формулу в эквивалентную ей, имеющую вид «нормальной» или «канонической» формы.

Дизъюнктом называется дизъюнкция конечного числа высказываний, то есть формула вида или .

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция конечного числа дизъюнктов.

Теорема. Любая формула имеет логически эквивалентную ей КНФ.

Алгоритм нормализации:

1. Исключение связок эквивалентности и импликации.

2. Необходимое число раз применяются правила преобразования из законов де Моргана, чтобы отрицания перевести на уровень элементарных высказываний.

3. Необходимое число раз применяются законы дистрибутивности (раскрыть все скобки).

4. Дизъюнкты, содержащие противоположности (т.е. высказывание и его отрицание), общезначимы и могут быть опущены. Можно опускать повторения в пределах одного дизъюнкта. Полученная таким способом нормальная форма называется приведённой. В ней в каждый дизъюнкт любое элементарное высказывание входит не более одного раза.

Нормальная форма общезначима тогда и только тогда когда все ее дизъюнкты общезначимы.

Дизъюнкт общезначим тогда и только тогда, когда он содержит пару противоположных высказываний.

Понятие дизъюнкта важно для практики. Описание задач и алгоритмов в терминах дизъюнктов составляет основу логического программирования.

Двойственным понятием к дизъюнкту является конъюнкт. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция конечного числа конъюнктов. Можно показать, что любая формула приводима к логически эквивалентной ей ДНФ.

Контрольные упражнения.

1. Найти значения следующих формул:

1. (p₁(p₂p₃))(p₁p₂p₃), если p₁ = 1, p₂ = 0, p₃ = 1;

2. ( p₁ ( p₂ ( p₃  ( p₁( p₂ p₃))))), если p₁ = 0, p₂ = 0, p₃ = 1;

3. ( p₁ p₂ p₃)  (p₃( p₂ p₁)), если p₁ = 1, p₂ = 0, p₃ = 0;

4.  (p₁(p₂ ( p₃  p₂ p₃))), если p₁ = 1, p₂ = 1, p₃ = 1;

5. ( p₁ p₂)  (p₃(p₂(p₁p₂p₃), если p₁ = 0, p₂ = 0, p₃ = 1.

2. Записать символически высказывания, употребляя буквы для обозначения простых высказываний. Построить таблицы истинности для каждого высказывания:

1. Пётр ходит в кино только в том случае, когда там показывают комедию.

2. Необходимое и достаточное условие для жизни растений состоит в наличии питательной почвы, чистого воздуха и солнечного света.

3. Студент не может заниматься, если он устал или голоден.

4. Если Иван выиграет в лотерею, он купит компьютер и будет праздновать всю ночь

5. Если он не выиграет в лотерею или не купит компьютер, то праздновать всю ночь не будет

6. Если Артёму нравятся фиолетовые галстуки, то он популярен и у него много друзей

7. Если Игорь носит желтые ботинки, то он не модный и если он не модный, то у него странные друзья.

8. Если он не удачлив, то он и не популярен

9. Он удачлив и богат, следовательно, он популярен.

10. Он читает научную литературу и любит фантастику, следовательно, он ученый-фантаст.

11. Если он информатик, то он либо работает за компьютером, либо читает книги об ЭВМ.

12. Если он или умеет писать или читать, то он грамотный человек.

13. Для того, чтобы натуральное число a было нечётным, достаточно, чтобы оно было простым и большим двух.

14. Необходимым условием сходимости последовательности S является ограниченность S.

15. У меня быстродействующий компьютер и я закончу проект вовремя и сдам экзамен.

3. Сколько строк содержит таблица истинности высказывания, состоящего из n компонентов?

4. Определить, является ли выражения тавтологией?

1. r & (p®q) ®q ;

2. p ÚØq & r Û p;

3. (p®q) Û Øp Ú q Ú r;

4. (Øp ® q) &(Øp ® Øq) ® p;

5. (p ® q) & (q ® r) ® (p ® r).

5. Построить таблицы истинности для следующих формул, определить какие формулы выполнимые или опровержимые:

1. r &(s&p)  p;

2. p  q  r;

3. ((p  q)  (q  r)  p)  (p  r);

4. (p  q)  (s  p  s);

5. p  (¬(ps) (sr).

6. Доказать, что

а) если формулы А и тождественно истины, то формула В тождественно истина;

б) если формулы и тождественно истины, то формула тождественно истина;

в) если формулы , , тождественно истины, то формула тождественно истина.

7. Привести формулы к КНФ.

1. r Û Ø(p  s),

2. (r & s)  (q & r);

3. (p  q) Þ (Øq  Øs),

4. (r & q)Û (Øp Ú s)

5. (p & r) (p Ú r)

6. (p & (r Ú Øq)) Ú (Øp & r) Ú ((p Ú Øq) &Ør)