1.1.3 Союзы языка и логические операции (язык и логика).

Итак, каждая из введенных логических операций является неким математическим образом, моделью соответствующего логического союза нашего языка. Но при переходе от высказываний на естественном языке к логическим формулам некоторые связки могут иметь другой смысл. Например, рассмотрим предложение «он испугался И нажал кнопку». Это предложение имеет другой смысл, чем предложение «Он нажал кнопку И испугался». В этих предложениях второе высказывание по времени следует за первым, является следствием первого высказывания. С точки зрения формальной логики первое высказывание тождественно высказыванию «он нажал кнопку, потому что испугался», второе – «он испугался, потому что нажал на кнопку».

Значит, чтобы проверить, является ли связка И действительно логическим И, необходимо переставить элементарные высказывания. Если при этом смысл не изменился, значит это логическое И.

Теперь обсудим дизъюнкцию, призванную отразить языковый союз ИЛИ. Следует отметить, что кроме рассматриваемой так называемой дизъюнкции в не исключающем смысле (она обозначается символом «Ú»  и истинна тогда и только тогда, когда хотя бы один ее член истинен) некоторые авторы рассматривают дизъюнкцию в исключающем смысле «либо…, либо…» или строгую дизъюнкцию (она обозначается символами «Ú» или «» истинна тогда и только тогда, когда истинен точно один ее член). Сравним таблицы истинности дизъюнкции и строгой дизъюнкции:

P	Q	P  Q	P Ú Q
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	1

Строгая дизъюнкция отличается от обычной только последней строкой. Примером строгой дизъюнкции может быть фраза «в 17 часов он был ИЛИ в общежитии ИЛИ в читальном зале». Здесь при одновременной истинности обоих составляющих высказываний результирующее высказывание будет ложным, потому что нельзя в одно и то же время быть в двух разных местах. В этом случае эквивалентным высказыванием будет предложение «в 17 часов он ИЛИ был в общежитии И НЕ был в читальном зале, ИЛИ был в читальном зале И НЕ был в общежитии».

Импликация и эквивалентность имеют важнейшее значение в формулировках и доказательствах теорем. Поэтому подробнее рассмотрим, как соотносятся с этими формулами различные связки естественного языка, часто встречающиеся при формулировке теорем.

Фраза естественного языка	Формула
Если Р, то Q
Для Р необходимо Q
Для Р достаточно Q
Р, если Q
Необходимым условием Р является Q
Достаточным условием Р является Q
Р, если и только если Q
Для Р необходимо и достаточно Q
Р тогда и только тогда, когда Q

Из приведенного следует вывод о том, что тонкое и многообразное человеческое мышление не так легко поддается научному осмыслению и изучению и что алгебра высказываний — всего лишь одно из приближений, всего лишь шаг на пути к познанию человеческого мышления.