8

ГЛ.1 КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

1.1 Логика высказываний.

1.1.1 Высказывания.

Логика высказываний имеет дело только с узким кругом утверждений ‑ повествовательных предложений, которым может быть приписано значение «истина» или «ложь». Примером могут быть фразы: "сегодня холодно", "идёт дождь", "Коля Петров учится в группе РКЦ-1-09", "Президент России поехал в Китай" и др. Предложения такого типа будем называть элементарными высказываниями и обозначать буквами латинского алфавита.

Высказывание ‑ это утверждение, которое может быть только «истинно» или «ложно». Значения которые можно приписать высказываниям, обычно обозначаются «И» и «Л», «1» и «0», «T» (True) и «F» (False).

Кроме простейших высказываний, структура которых не анализируется (они поэтому называются атомами), вводится понятие сложного высказывания или формулы ‑ комбинации более простых высказываний.

Формулы логики высказываний определяются индуктивно над неограниченным множеством атомов (элементарных высказываний) с помощью логических связок , , ,  и  , интерпретация которых дана в таблице 1:

Таблица 1
Название	Тип	Обозначение	Как читается	Другие обозначения
Отрицание	Унарный		не, «неверно, что…»	s, not, не
Конъюнкция	Бинарный		и	,  , and, и
Дизъюнкция	Бинарный		или	, or, или
Импликация	Бинарный		влечёт, следует, вытекает, «если…, то …»	, 
Эквивалентность	Бинарный		эквивалентно, «тогда и только тогда, когда»	, 

Совокупность правил построения формул:

• Базис. Всякое высказывание является формулой.

• Индукционный шаг. Если A и B формулы, то A, (AB), (A B), (AB), (A B) – формулы.

• Ограничение. Формула однозначно получается с помощью правил, описанных в базисе и индукционном шаге.

Каждая формула, как и элементарное высказывание принимает значения из множества . В формулах используются скобки для определения порядка выполнения действий.

Для установления истинности значения нового высказывания применяют истинностные таблицы (например, таб.2) которые введены австрийским логиком и одним из крупнейших философов XX в Людвигом Витгенштейном (26.4.1889—29.4.1951):

Таблица 2
P	Q
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Пример 1. Пусть значения элементарных высказываний: P₁ = 1, P₂ = 0, P₃ = 1 и имеется составное высказывание: ((ØP₁Ù P₂) ® P₃) Û (ØP₂ Ú P₃).

Найдем значение сложного высказывания.

((ØP₁Ù P₂) ® P₃) Û (ØP₂ Ú ØP₃)

0 0 1 1 0

0 1 1

1 1

1

Ответ: Значение сложного высказывания – 1.

Очевидно, что логика высказываний и теория булевых функций связаны теснейшим образом: обе эти модели являются булевыми алгебрами. Поэтому естественно в логике высказываний пользоваться результатами и терминологией, известными из теории булевых функций.

Объектами изучения естественных и формальных языков являются синтаксис и семантика. Синтаксис позволяет распознать фразы среди наборов слов. Семантика придаёт определённое значение фразам. Высказывания либо истинны, либо ложны, значит семантическая область {1, 0}. Семантика есть набор правил интерпретации формул.

Пример 2. Записать символически высказывания, употребляя буквы для обозначения простых высказываний. Построить таблицу истинности для каждого высказывания записать равносильные формулы и дать их интерпретацию в естественном языке.

А. «Порядочный человек не может быть вором».

Решение. Атомы: Р ‑ «некто есть порядочный человек», В ‑ «некто является вором». Логическая формула имеет вид: . Составим таблицу и найдем эквивалентные формулы.

P	В
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0

‑ «порядочный человек не может быть вором»;

‑ «или он не порядочный человек или же он не вор»;

- «порядочность и воровство несовместимы»;

‑ «если человек вор, то он не является порядочным человеком».

Б. Диалог:

‑ Отец: Если ты будешь с ним встречаться, то я лишу тебя наследства!

‑ Дочь: Нет, ни за что!

Что хочет сказать дочь своим отказом?

Решение. Атомы: Р ‑ «ты будешь с ним встречаться», Q ‑ «я лишу тебя наследства».

Суждение отца: . Дочь отрицает это суждение: . Что это значит?

Построим таблицу истинности и найдем эквивалентное суждение.

P	Q
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	0

Эквивалентное суждение звучит более понятно на естественном языке: «Я буду с ним встречаться, и ты не лишишь меня наследства».

Таким образом, отношение эквивалентности даёт нам в руки мощный аппарат анализа смысла выражений естественного языка, у которых точно выявлена логическая форма.