Оценка производственной функции с использованием метода корреляционно-регрессионного анализа
Коэффициент корреляции равен r=0,90.
Значение коэффициента корреляции говорит о высокой степени линейной корреляции величины у и х.
Стандартная ошибка
определения коэффициента парной
корреляции равна
.
Достоверность расчёта коэффициента корреляции высока:
.
Доверительный интервал коэффициента корреляции находится в пределах:
.
Корреляционное отношение равно:
.
Стандартная ошибка
его определения равна
.
Корреляционное отношение не даёт дополнительной информации, т.к. связь между у и х тесна и близка к линейной.
Коэффициент
детерминации В=0,81
показывает, что примерно
изменений величины у
вызвано изменением величины х.
Стандартное отклонение у от поверхности регрессии составляет Sy=1,88, т.е. находится в пределах от 5,5 до 8,10% от значений величины :
и
.
Экономические
характеристики производственной функции
Дополнительный продукт фактора:
,
т.е.
.
Средняя производительность:
;
при х1=30;
;
при х=52
.
Коэффициент эластичности:
;
при х=50 коэффициент эластичности равен
,
т.е. при изменении (х) на 1% величина (у) изменится на 0,76%.
Демонстрационная задача № 3
Используя данные о фактической величине потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов при выполнении полевых работ в зависимости от длины гона, определить расчетные значения величины потерь, величину корреляционного отношения, его ошибку, критерий достоверности и доверительные границы корреляционного отношения.
Таблица 7
Исходные данные
-
№ п/п (j)
Фактическая величина потерь, % (yj)
Длина гона, км (xj)
1
16.8
0.4
2
10.8
0.7
3
6.2
1.0
4
6.0
1.3
5
4.0
1.6
6
3.8
1.9
7
3.1
2.2
8
16.0
0.5
9
13.8
0.6
10
12.1
0.7
11
10.0
0.8
12
9.0
0.9
13
5.8
1.0
14
8.1
1.1
Решение
Для определения зависимости между значением фактической величины потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов при выполнении полевых работ и длиной гона построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – величины потерь на холостые повороты (%) и заезды, х – длина гона (км) (рис. 3).
Рисунок свидетельствует о наличии гиперболической зависимости. Уравнение гиперболы имеет вид y=a0+a1/x.
Для расчета параметров «a0» и «a1» решается система уравнений:
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Рис. 3. Графическое представление зависимости между значением фактической величины потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов и длиной гона. Точками показаны результаты наблюдений
;
;
.
Промежуточные вычисления, необходимые для решения системы нормальных уравнений, приведены в табл. 8.
Таблица 8
Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений
(случай гиперболической регрессии)
№ п/п (j) |
Фактическая величина потерь , % (yj) |
Длина гона, км (xj) |
1/хj |
1/(хj)2 |
yj/xj |
Расчетная величина потерь, %, ŷj |
1 |
16.8 |
0.4 |
2.5 |
6.25 |
42.0 |
19.32 |
2 |
10.8 |
0.7 |
1.429 |
2.04 |
15.429 |
11.35 |
3 |
6.2 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
6.2 |
8.17 |
4 |
6.0 |
1.3 |
0.769 |
0.59 |
4.615 |
6.45 |
5 |
4.0 |
1.6 |
0.625 |
0.39 |
2.5 |
5.38 |
6 |
3.8 |
1.9 |
0.526 |
0.28 |
2.0 |
4.64 |
7 |
3.1 |
2.2 |
0.455 |
0.21 |
1.409 |
4.11 |
8 |
16.0 |
0.5 |
2.0 |
4.0 |
32.0 |
15.60 |
9 |
13.8 |
0.6 |
1.666 |
2.78 |
23.0 |
13.12 |
10 |
12.1 |
0.7 |
1.429 |
2.04 |
18.714 |
11.35 |
11 |
10.0 |
0.8 |
1.25 |
1.56 |
16.25 |
10.02 |
12 |
9.0 |
0.9 |
1.111 |
1.23 |
11.444 |
8.99 |
13 |
5.8 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
9.2 |
8.17 |
14 |
8.1 |
1.1 |
0.909 |
0.83 |
7.364 |
7.49 |
|
125,5 |
|
16.669 |
24.20 |
192.125 |
|
Используя результаты расчёта табл. 8 запишем систему нормальных уравнений в виде:
;
;
;
;
;
.
Сглаженная зависимость потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов от длины гона имеет вид:
y=0.726+7.439/x.
Поскольку зависимость между длиной гона и величиной потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов носит нелинейный характер, тесноту нелинейных связей можно характеризовать выборочным корреляционным отношением:
О степени линейной корреляции можно судить по значению ryx .
.
Для расчета величин
(y-ŷ)2,
(
)2
составим таблицу 9.
Таблица 9
Таблица для расчета корреляционного отношения
№ п/п (j) |
Фактическая величина потерь , % (yj) |
|
Расчетная величина потерь, %, yj |
|
|
1 |
16.8 |
51,84 |
19.32 |
-2,52 |
6,35 |
2 |
10.8 |
1,44 |
11.35 |
-0,55 |
0,30 |
3 |
6.2 |
11,56 |
8.17 |
-1,97 |
3,88 |
4 |
6.0 |
12,96 |
6.45 |
-0,45 |
0,20 |
5 |
4.0 |
31,36 |
5.38 |
-1,38 |
1,90 |
6 |
3.8 |
33,64 |
4.64 |
-0,84 |
0,71 |
7 |
3.1 |
42,25 |
4.11 |
-1,01 |
1,02 |
8 |
16.0 |
40,96 |
15.60 |
0,40 |
0,16 |
9 |
13.8 |
17,64 |
13.12 |
0,68 |
0,46 |
10 |
12.1 |
12,25 |
11.35 |
1,75 |
3,06 |
11 |
10.0 |
11,56 |
10.02 |
2,98 |
8,88 |
12 |
9.0 |
0,49 |
8.99 |
1,31 |
1,72 |
13 |
5.8 |
0,16 |
8.17 |
1,03 |
1,06 |
14 |
8.1 |
2,25 |
7.49 |
0,61 |
0,37 |
|
134.2 |
270,36 |
134,16 |
|
30,07 |
∑/п |
|
|
|
|
|
Подставляя найденные значения величин в формулу, получим:
.
Стандартная (среднеквадратическая) ошибка определения коэффициента корреляции и корреляционного отношения может быть оценена по формулам:
при
;
=______
.
где N – объем выборки (случай, когда N<30);
K – число факторов.
Достоверность расчёта корреляционного отношения высока.
Очень большое значение выборочного корреляционного отношения и малая погрешность его определения говорят об адекватности принятой регрессионной зависимости реальной статистической картине, о верности выбранной гиперболической зависимости между величинами у и х.
Степень влияния фактора на результат, определяется значением коэффициента детерминации.
Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:
;
где Дрег
и Дост
– дисперсии
отклонений сглаженных значений ŷj
от
среднего
наблюдаемого
и отклонений
наблюдаемых величин
от сглаженного
.
Коэффициент детерминации равный В=0,.89 характеризует, что ….% изменений величины у вызвано изменением величины х, а (1-В) ….% влиянием неучтённых факторов.
Несмещённая выборочная оценка для дисперсии отклонений случайной величины у от поверхности регрессии вычислим по формуле:
Стандартное
отклонение величины у
от линии
регрессии составляет…., т.е. находится
в пределах
%
от значений величины
.
.