Экономические характеристики производственных функций

Дополнительный продукт фактора (предельная производительность) определяется производной:

(при фиксации всех остальных факторов).

Для линейной зависимости у = a₀+a₁x

,

Д_i равен приросту продукции за счёт увеличения i-го фактора на единицу и характеризует тем изменения у в данной точке при изменении фактора х_i .

Дополнительный продукт фактора для линейной регрессии есть const, равная .

Средняя производительность

– средний темп изменения у при увеличении фактора от нуля до заданного значения х_i .

.

при

;

при ;

при

.

Коэффициент эластичности

;

Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен:

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат производства( у) при изменении фактора (х) на 1%.

При , коэффициент эластичности равен:

, т.е. при изменении фактора на 1% результат изменится на 0,21%.

Демонстрационная задача № 2

Пусть на 12 участках заданного хозяйства получены оценки качества земли и средние для каждого участка урожайности озимой пшеницы (таблица 3). По результатам оценок установить функциональную зависимость урожайности (y) озимой пшеницы от балла оценки земли (x).

Таблица 4

Исходные данные для решения задачи

№ п/п (j)	Балл оценки земель (xj)	Урожайность, ц/га (yj)
1	30	23.5
2	35	23.7
3	35	24.0
4	38	26.7
5	29	24.3
6	40	28.8
7	45	33.5
8	37	27.6
9	35	23.0
10	40	29.4
11	50	30.5
12	52	35.0

Рассчитать показатели, характеризующие тесноту связи между урожайностью и баллом оценки земель, оценить погрешность определения коэффициента корреляции , рассчитать экономические характеристики, определить коэффициент детерминации, стандартное отклонение.

Решение

Для определения зависимости между значением урожайности и баллом оценки земель построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – урожайность озимой пшеницы, х – балл оценки земли (рис. 2).

Рисунок свидетельствует о том, что зависимость урожайности озимой пшеницы от балла оценки земли имеется и близка к линейной.

Рассчитаем коэффициенты для системы нормальных уравнений в случае линейного представления зависимости: y=a₀+ a₁x.

25 30 35 40 45 50 x

Рис. 2 . Графическое представление зависимости между значением урожайности и баллом оценки качества земли

Для получения нормальных уравнений приравняем нулю первые производственные суммы квадратов отклонений случайных величин y^j , полученных в выборках от соответствующих значений по параметрам а₀ и а₁.

, то тогда ;

;

Вид системы нормальных уравнений:

.

Для расчета параметров составим таблицу 5.

Таблица 5

Расчет коэффициентов для системы нормальных уравнений

(случай линейного представления зависимости)

№ п/п j	Балл оценки земель , xj	Урожайность ц/га, yj	(xj)2	xj yj	Сглаженное значение
1	30	23,5	900	705,0	23,01
2	35	23,7	1225	829,5	25,55
3	35	24,0	1225	840,0	25,55
4	38	26,7	1444	1014,6	27,08
5	29	24,3	841	704,7	22,50
6	40	28,8	1600	1152,0	28,09
7	45	33,5	2025	1507,5	30,63
8	37	27,6	1369	1021,2	26,57
9	35	23,0	1225	805,0	25,55
10	40	29,4	1600	1176,0	28,09
11	50	30,5	2500	1525,0	33,18
12	52	35,0	2704	1820,0	34,19
	466	330,0	18658	13100,5	330,0

С учетом результатов расчетов сумм, представленных в последней строке таблицы, система нормальных уравнений для рассматриваемой задачи будет иметь вид:

Для того, чтобы решить данную систему уравнений, разделим каждое уравнение на коэффициент при a₁. Получим:

Вычтем из второго уравнение первое, получим:

1,206a₁ = 0,613; a₁ = 0,508.

Подставив значение a₁ в любое из уравнений, найдем a₀:

a₀ = 27,5  38,8330,508 = 7,77.

Решение системы:

а₀=7,77;

а₁=0,508.

Линейное представление зависимости урожайности пшеницы от оценки качества земли имеет вид:

=f(x)=7.77+0.508x.

Рассмотрим пример, когда функциональное представление рассматриваемой зависимости ищется в классе полиномов второй степени (парабол. ) y= a₀+ a₁x+a₂x².

По условию задачи № 2 рассчитаем коэффициенты для системы нормальных уравнений - случай полиномиального 2-й степени представления.

Зависимость в классе полиномов 2^ой степени - парабола:

y= a₀+ a₁x+a₂x².

Для определения параметров а₀, а₁ и а₂ решим систему нормальных уравнений:

Для расчета коэффициентов системы нормальных уравнений (случай полиномиального 2-й степени представления) составим таблицу 6.

Таблица 6

Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений

(случай линейного представления зависимости)

j	x	y	x­y	x2	x2y	x3	x4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	30 35 35 38 29 40 45 37 35 40 50 52	23,5 23,7 24,0 26,7 24,3 28,8 33,5 27,6 23,0 29,4 30,5 35,0	705,0 829,5 840,0 1014,6 704,7 1152,0 1507,5 1021,2 805,0 1176,0 1525,0 1820,0	900 1225 1225 1444 841 1600 2025 1369 1225 1600 2500 2704	21150,0 29032,5 29400,0 38554,8 20436,3 46080,0 67837,5 37784,4 28175,0 47040,0 76250,0 94640,0	27000 42875 42875 54872 24389 64000 91125 50653 42875 64000 125000 140608	810000 1500625 1500625 2085136 707281 2560000 4100625 1874161 1500626 2560000 6250000 7311616	23,11 25,52 25,52 27,01 22,64 28,02 30,58 26,51 25,52 28,02 33,23 34,32
	466	330,0	13100,5	18658	536380,5	770272	32760694	330,01

Решив систему нормальных уравнений:

,

получим a₀=10.3, a₁=0.38, a₂=0.0016.

Сглаженная зависимость урожайности пшеницы от качества земли имеет вид:

= f(x) = 10.3+0.38x + 0.0016x².

Если сравнить значения показателя , вычисленного по функциональному представлению линейной зависимости (таблица 4) и по представлению квадратичной параболы (таблица 5), то видим незначительные расхождения. Если выбор функциональной зависимости осуществить между этими двумя представлениями, то достаточно ограничиться линейным.