Позначення, пов’язані з поворотними осями порядку вище другого.

Таблиці характерів незвідних представлень для точкових груп, які містять тільки подвійні осі, площини І, центр симетрії, складаються тільки з +І та -І, оскільки дані елементи симетрії можуть міняти тільки знак координати, але не величину.

Для точкових груп, які містять осі 3,4,6-го порядку, щоб охарактеризувати поворот на відповідний елементарний кут, вводять спеціальні позначення.

Рис.3.1 Діаграма Арганда

При цьому зручно користуватись так званою діаграмою Арганда, на якій вектор одиничної довжини, що обертається, складає кут α, з горизонтальною віссю. Вздовж осі ОА відкладається а вздовж ОВ - причому координата вздовж осі ОВ множиться на i, де i – комплексна одиниця (i =  ). Поворот вектора, наприклад, в положення ОQ, характеризується символом ε:

.

Оскільки то довжина відрізка OQ=1. Маємо також:

.

Для знаходження модуля ε множимо на комплексно спряжену величину і добуваємо корінь з добутку. Записуючи замість , маємо:

.

Отже, модуль ε дорівнює 1 ,тобто ОQ. Введені позначення використовуються при поворотах навколо конкретних осей наступним чином: Для осі 4 маємо α = 2π/4, тоді:

.

Другий поворот на 2π/4 відповідає ε², тобто:

.

Третій поворот відповідає:

.

Замість ε³ звичайно пишуть ε* , оскільки:

.

Для осі 3 ; значення ε для одного і двох обертань на кут 2π/3 такі:

(замість ε² прийнято писати ε*).

Для осі 6 ; значення ε для послідовних поворотів такі:

Оператор ототожнення е.

У таблицях характерів незвідних представлень для груп 1, 1, 2, m , 2/m, 222, 2mm, mmm розмірність оператора ототожнення Е дорівнює 1. В точкових групах, які мають більше одного елемента хоча б в одному класі спряжених елементів, розмірність Е може бути рівною 2 або 3.

У восьми вказаних вище групах порядок розташування координат еквівалентних точок не змінюється ніякими елементами симетрії. Наприклад, в групі 222:

Співставимо їх з відповідними координатами еквівалентних загаль­них точок в групі №4 mm:

Тут є такі пари точок, дві координати яких у площині ху не незалежні, а можуть мінятись одна з другою місцями (наприклад, координати х та у в точок х,у,z та у,х,z ). У точковій групі 222 у довільному наборі координат точок координата "х" завжди стоїть зліва, а в точковій групі 4mm вона може стояти зліва чи посередині.

Матриці, які здійснюють перетворення точок в групі 222, мають вигляд:

причому всі недіагональні члени в них дорівнюють 0.

Для групи 4mm матриці мають інакший вигляд; наприклад, для точок з координатами х,у,z:

Як видно, деякі недіагональні члени тут вже відмінні від 0. В загальному вигляді такі матриці можна записати як:

де F, G, H, I – можуть бути рівними 1 або 0, а J = ± 1.

Матриця виду F G H I, називається двомірною і оператор ототожнення Е тепер має бути записаний у вигляді

.

Характер цієї матриці (сума діагональних членів) дорівнює її розмірності, тобто рівний 2. Таким чином, якщо дві координати, х та у, разом відносяться до одного представлення, то розмірність Е дорівнює 2.

В кубічних точкових групах вісь 3 [III] переводить координати х,у,z; в у,z,х та z,х,у. Матриці перетворення цих точок такі:

В загальному виді такі матриці можна записати як:

де кожна буква може приймати значення +1, 0, -1. Подібна матриця називається трьохмірною, і для оператора ототожнення в цьому випадку маємо:

Характер цієї матриці дорівнює 3.

Отже, одиничний елемент Е точкової групи може мати різну розмірність у залежності від розмірності представлення, причому характер цього елемента дорівнює його розмірності.