Теоретичні відомості Практичні прийоми знаходження елементів симетрії і простих форм.

При визначенні симетрії кристалографічних моделей завжди потрібно пам’ятати, що знайдена комбінація елементів обов’язково повинна відповідати симетрії однієї із 32 точкових груп.

Елементи симетрії. Площина симетрії для скінчених фігур, тобто відносно елементів обмеження (грані, ребра, вершини), може займати наступне положення:

1. проходити через ребра;

2. проходити перпендикулярно до ребер через їх середини;

3. перетинати грань лише в перпендикулярному напрямку і ділити її (грань) на дві симетричні частини;

4. перетинати гранні кути в їх вершинах.

Осі симетрії можуть виходити на моделі лише в серединах ребер, в центрах граней і у вершинах кутів. У серединах ребер, очевидно, можуть виходити лише осі другого порядку С₂. У центрах граней – осі всіх можливих для кристалів порядків. При цьому сама грань повинна суміщатися із своїм вихідним положенням при відповідному повороті навколо очікуваної осі.

У вершинах гранних кутів можуть виходити кристалографічні осі будь-якого порядку. При цьому число ребер, що сходяться у вершині, повинно бути кратним порядку осі. Також у цій вершині повинно сходитися відповідне число рівних плоских фігур.

Для знаходження центра симетрії існує наступний практичний прийом. На горизонтальну площину кладуть досліджувану модель.

1. Якщо в цій моделі зверху знаходиться вершина кута, або ребро, то це відразу показує, що центра симетрії немає.

2. Якщо зверху моделі є грань, паралельна горизонтальній площині, то наявність центра симетрії є можливою.

3. Якщо, ставлячи модель на горизонтальну площину різними гранями, завжди зверху буде знаходитись паралельна основі площина, то фігура володіє центром симетрії. При цьому потрібно пам’ятати, що обидві грані, тобто верхня грань і нижня, повинні бути рівними і обернено паралельними, а також мати однакову конфігурацію.

Дзеркально-поворотні осі зустрічаються порівняно у небагатьох точкових кристалів.

Дослідження на наявність дзеркально-поворотної осі ведуться наступним чином:

1. Орієнтують модель так, щоб очікувана вісь стала вертикально відносно променя зору.

2. Роблять уявний розріз моделі перпендикулярно до очікуваної осі і відзначають на верхній половині яку-небудь характерну грань (ребро). Замальовують (запам’ятовують) положення цієї грані в просторі і в площині уявного розрізу, дзеркально відбивають її. Повертають модель навколо досліджуваної осі на елементарний кут α і порівнюють положення досліджуваної грані в нижній половині моделі з раніше замальованим відбитим зображенням. Якщо є співпадіння, то в моделі існує дзеркально-поворотна вісь.

Прості форми. За зовнішнім виглядом усі кристали можна розбити на дві групи: прості форми і комбінації простих форм.

Проста форма характеризується тим, що всі її грані рівні між собою. Причиною рівності всіх граней простої форми є те, що вона утворена із однієї вихідної грані дією комплексу елементів симетрії даної точкової групи.

Слід відрізняти загальні і часткові прості форми. Часткова проста форма виводиться, якщо вихідна грань є паралельна (або перпендикулярна) до якого небудь елемента симетрії. Загальна проста форма виводиться в тому випадку, якщо вихідна грань розміщена в загальному положенні. Загальна проста форма має максимально можливе для даного виду симетрії число граней. Із цього випливає, що кожному виду симетрії, а отже і кожній точковій групі, відповідають свої певні прості форми.

Всього різних простих форм кристалів, що описуються 32 точковими групами симетрії, є 47 (не враховуючи різниці між правими та лівими фігурами).

Визначення симетрії моделей методом Шубнікова. Те, що кристалографічна модель може належати до того чи іншого класу симетрії (точкової групи), а також назва цього класу і формула симетрії можуть бути досить просто визначені методом Шубнікова з використанням стереографічної проекції.

Цей метод заснований на використанні властивості загальної простої форми повністю відображати симетрію даного класу, а також на тій обставині, що симетрія кожної із 32-х точкових груп повністю визначається одним-двома (максимум трьома) елементами симетрії. Ці елементи симетрії названо визначаючими.

Шубніковим показано, що для всієї різноманітності скінчених фігур може мати місце лише одне із наступних поєднань визначаючих елементів симетрії.

Скористаємось позначеннями Шубнікова:

1. n – у кристалографічній фігурі є лише одна головна вісь симетрії. Головною віссю вважається одна із осей симетрії найвищого порядку, присутніх в даній моделі. Де n – індекс простої осі, причому n = 1, 2, 3, 4, 6.

2. – у кристалографічній фігурі є лише одна головна вісь симетрії (дзеркально-поворотна), де = та .

3. n · m – у кристалографічній фігурі є головна вівсь і паралельна їй площина симетрії.

4. n : m – у кристалографічній фігурі є головна вісь і перпендикулярна до неї площина симетрії.

5. n : 2 – у кристалографічній фігурі є головна вісь і перпендикулярна до неї вісь другого порядку.

6. m·n:m – у кристалографічній фігурі є головна вісь і одночасно паралельна і перпендикулярна площина симетрії.

7. – у кристалографічній фігурі є головна дзеркально-поворотна вісь і паралельна до неї площина симетрії.

8. – у кристалографічній фігурі є головна вісь і нахилена до неї вісь вищого порядку (n > 2). Таке поєднання осей може бути лише у фігурах, що відносяться до кубічної сингонії.

Знайшовши визначаючі елементи симетрії фігури, з їх допомогою на стереографічній проекції можна встановити всі інші елементи симетрії (формулу симетрії точкову групу, сингонію).

Як же практично встановити до якої точкової групи належать та чи інша кристалографічна модель?

1. У першу чергу необхідно встановити, що дана модель відноситься, чи не відноситься до кубічної сингонії. Якщо так, то відносно осі вищого порядку знайдеться вісь також вищого порядку, яка розміщена під довільним кутом до першої. У цьому випадку встановити, до якої точкової групи симетрії належить модель, можна лише за допомогою спеціальних таблиць. Якщо похилої до головної осі не знайдено, то це означає, що модель належить до середніх або нижчих сингоній.

2. У такому випадку визначають порядок головної осі і її характер (проста чи дзеркально-поворотна).

3. Далі продовжують шукати інші визначальні елементи симетрії в порядку: чи немає місця поєднання m·n:m, потім n · m, потім, n : 2, потім, n : m. Якщо головною віссю є дзеркально-поворотна або , то слід шукати лише поєднання або просто , оскільки інших поєднань для цих осей немає.

4. Якщо знайдено одне із перерахованих поєднань, подальші пошуки визначальних елементів припиняються та записується позначення точкової групи.

5. Визначальні елементи симетрії проектують на стереографічну проекцію. З допомогою визначальних елементів симетрії будують на стереографічній проекції загальну просту форму. З допомогою загальної простої форми визначають назву загальної простої форми; визначають наявні всі елементи симетрії і записують формулу симетрії. Встановлюють точкову групу симетрії і сингонію.

6. Знаходження і визначення простих форм за допомогою стереографічної проекції. Перш за все визначається число простих форм, грані яких приймають участь в огранці даної моделі. Це число дорівнює кількості різних граней. Потім визначають назву кожної із цих простих форм. Якщо важко встановити візуально дану просту форму, то використовують стереографічну проекцію. Для цього на стереографічну проекцію наносять визначаючі елементи симетрії, і полюсну точку однієї із граней невідомої простої форми. «Діючи» визначальними елементами симетрії на цю точку, отримаємо просту форму, яку легко вже розпізнати.