- •Кафедра теоретичної механіки
- •Методичні вказівки
- •0902 Інженерна механіка, 0921 Будівництво, 0926 Водні ресурси
- •© Хижняков о. В., Серілко л. С., 2005
- •1. Дві основні задачі динаміки точки
- •Теореми про зміну кількості руху та про рух центра мас механічної системи
- •3. Інтегрування диференціального рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі
- •4. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи
- •5. Принцип даламбера для механічної системи
- •6.Принцип можливих переміщень
- •7. Загальне рівняння динаміки
- •8. Рівняння лагранжа другого роду
- •Лiтература
8. Рівняння лагранжа другого роду
8.1 Перш ніж користуватися рівняннями Лагранжа другого роду
(j=1,2,...k), (8.1)
треба добре розібратися з узагальненими координатами q. (і як наслідок, з узагальненими швидкостями qj), їх вибором, бо вдалий вибір забезпечує просте розв'язання задачі; треба добре засвоїти практичне обчислення узагальнених сил
(j=1,2,...k), (8.2)
де k - число ступенів вільності системи.
32
Велика перевага рівнянь Лагранжа другого роду в тому, що при наявності ідеальних в'язей, в них не входять реакції в'язей. Крім того, основна перевага рівнянь Лагранжа порівняно з елементарними способами полягає в тому, що для них існує загальна методика розв'язування задач динаміки.
Тому, якщо при розв'язуванні задач з динаміки немає чіткого застосування загальних теорем динаміки (2.1), (2.2), (4.1), то слід звернутися до рівнянь Лагранжа другого роду.
8.2 Складання рівнянь Лагранжа другого роду при розв'язуванні задач з механіки рекомендуємо робити в такій послідовності:
визначити число ступенів вільності k системи та вибрати узагальнені координати;
зобразити на схемі всі діючі сили( якщо в'язі ідеальні - то тільки задані сили);
визначити кінетичну енергію системи як функцію узагальнених координат та швидкостей;
обчислити похідні в рівняннях (8.1);
визначити узагальнені сили (8.2) відповідно до вибраних узагальнених координат;
результати обчислень підставити в (8.1);
з отриманих рівнянь при відомих силах знаходять закон зміни узагальнених координат або при заданому законі руху визначають сили, що викликають цей рух.
Приклад 8.1. На ланку 1 підйомного механізму (рис. 8.1 а), який знаходився в початковий момент часу в стані спокою, діє крутний момент (Н/м). Під час руху механізму в ланці 2 виникає момент сил опору Нм. Знайти, як змінюється кутова швидкість ланки 1 з часом, якщо m1 =100кг, m2 = 200кг, m3 = 80кг, m4 = 440кг, , , м, . Шестірню 1 вважати тонким однорідним диском , а маса блока 3 рівномірно розподілена по його ободу.
Розв'язання. Розглядувана система має один ступінь вільності, за узагальнену координату доцільно прийняти кут повороту шестірні 1 , тоді . Рівняння Лагранжа другого роду (3.57) при k=1 набуває вигляду
. (8.3)
Обчислимо кінетичну енергію механічно! системи
Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4 (8.4) (3.60)
33
я к функцію та . З рис. 8.1 видно, що ланки 1 та 2 обертаються навколо своїх осей, блок 3 рухається плоскопаралельно, а вантаж 4 - поступально; обчислення Т1 і Т2 ведемо за формулою (4.3), Т3 - (4.4) і Т4 - (4.2). Маємо :
,
де , як для тонкого однорідного диска;
,
де ; ,
звідки ;
= ,
де - як для тонкого однорідного кільця;
34
, бо r2= 2R3 зa умовою задачі;
(студенти наводять розрахунки повністю);
.
У відповідності з (8.4) маємо:
.
Обчислимо похідні, що входять до (8.3):
; ; ,
бо .
Знайдемо узагальнену силу : для цього на рис. 8.1,б зображаємо активні сили та моменти( , , , , М, ), надаємо системі можливе переміщення і користуємось виразом (8.2). Маємо
.
Очевидно, що , бо ; , бо . Остаточно маємо:
(Нм).
Таким чином остаточно маємо (8.3)
або при
.
Відомо, що або . Інтегруючи, маємо:
,
але при за умовою задачі, тому С=0 і остаточно отримаємо .
Це і є закон зміни кутової швидкості шестірні 1 з часом.
35