4. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

4.1. Теорему про зміну кінетичної енергії системи

T - T_O = A_j^e +  A_jⁱ (j=1,2,..n) (4.1)

застосовують у тих випадках, коли до числа даних та шуканих величин входять: інерційні характеристики (маси і моменти інерції) і швидкості (лінійні і кутові); сили, моменти сил і пар сил; переміщення (лінійні і кутові). Зазначимо, що три величини з чотирьох перелічених мають бути відомі. Неoбхідно пам’ятати, що застосування цієї теореми нейефективніше тоді, коли сили і моменти сил та пар сталі або залежать від координат точок системи.

Зауважимо, що це єдина теорема динаміки, яка враховує дію внутрішніх сил системи.

4.2. При обчисленні кінетичної енергії механічної системи, яка складається з твердих тіл, слід пам’ятати, що Т =  Т_j; де Т_j - кінетична енергія кожного тіла, що входить до системи: вона обчислюється в залежності від того який рух виконує тіло:

T_ПОСТ= MV_C²/2 ; (4.2)

T_ОБЕРТ= I_ZO²/2 (4.3)

T_ПЛОСК= MV_С² /2 + I_Z_С²/2 (4.4)

4.3. Перед обчисленням робіт сил в правій частині (4.1) необхідно повторити [1,2], що таке робота сили взагалі і як вона обчислюється в окремих випадках зокрема: робота сили ваги, сили пружності, сили тертя, внутрішніх сил системи, пари сил тощо. Слід пам’ятати, що A_jⁱ= 0 у випадку руху незмінної системи [1,2], окремим випадком якої є абсолютно тверде тіло.

З формул (4.3-4.4) видно, що необхідно добре розібратися з обчисленням моментів інерції для часто уживаних на практиці однорідних тіл: стержень, диск, круговий циліндр, кільце; при необхідності треба користуватися теоремою про паралельний перенос (3.2), за якою визначають моменти iнерцii тiл вiдносно паралельних осей, або поняттям про радіус інерції і_z (в цьому випадку I_Z = M i_Z²).

4.4. Остаточний успіх розв’язання задач за теоремою (4.1) залежить від правильного встановлення співвідношень кінематики між окремими точками та тілами, що входять до системи. Найчастіше роблять помилки при обчисленні кутової швидкості тіла, що рухається плоскопаралельно:  = V_K/KP, де К - довільна точка тіла, KP - її віддаль до миттєвого центра швидкостей P. Перш ніж розв’язувати задачу, рекомендується повторити поступальний, обертальний та плоский рухи твердого тіла [1,2].

4.5. Алгоритм розв’язування задач за допомогою теореми (4.1) такий:

визначають, які тіла або точки відносяться до системи, рух якої вивчається;
дослідити, який рух виконує кожне з твердих тіл, що входять до системи (див. п. 4.2);
обчислити кінетичну енергію системи в початковому та кінцевому її положеннях; при цьому лінійні швидкості окремих точок системи треба, користуючись співвідношеннями кінематики, виражати як функції швидкості однієї точки;
розглянути систему сил, як зовнішніх, так і внутрішніх, що діють на точки системи;
дослідити чи виконують внутрішні сили роботу, чи ні;
обчислити суму робіт усіх зовнішніх та внутрішніх сил на переміщеннях точок системи (див. п.4.3);

скласти рівняння, що відповідає теоремі (4.1), і визначити невідому величину.

П риклад 4.1. Механічна система ( рис. 4.1) під дією сили починає рухатись зі стану спокою. Нехтуючи тертям, іншими силами опору руху та масою гнучких нерозтяжних ниток, визначити швидкість та прискорення точки, до якої прикладена сила , в той момент часу коли ця точка пройде шлях S. При розрахунках вважати, що маса тіла B рівномірно розподілена по його ободу, а саме тіло В котиться по правiй нитцi без ковзання; крім того відомо, що M_A = m, M_B = 2m,

M_D = 8m, F = 8mg,

M = mgR, r_D =R,

R_D = 3R, i_DZ = 2R,

R_B = R,  = 30^o,

S = 1,1м (m - в кг; R, i_DZ - в метрах).

Рис. 4.1

Розв’язання. Розв’яжемо задачу за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи (4.1): T₀ = 0, бо в початковий момент часу cистема перебувала в стані спокою (V₀=0); , бо система незмінна: тіла А,В,D тверді, нитки нерозтяжні (див. п. 4.3.).

Визначимо кінетичну енергію системи в кінцевому її положенні (див.п. 4.2):

T = T_A + T_B + T_D. (4.5)

Аналіз руху системи та її окремих тіл показує, що вантаж А рухається поступально; блок В обертається навколо осі Oz, яка напрямлена перпендикулярно до рис. 4.1 на нас; ступінчастий коток D рухається плоскопаралельно. Тому T_A,T_Bта T_D обчислюються відповідно за формулами (4.2), (4.3) та (4.4).

Маємо: T_A = M_AV_A² /2 = mV_A² /2, (4.6)

T_B = I_ZO_B²/2 = 2mR²V_A²/2R² = mV_A², (4.7)

I_ZO = M_BR_B² = 2mR² ‑ (4.8)

момент інерції однорідного тонкого кільця (маса тіла В рівномірно розподілена по його ободу) відносно осі Oz; _B = V_K /KO = V_A/R_B = V_A/R - кутова швидкість блока В: V_K = V_A, бо ділянка АК рухається поступально;

T_D = M_DV_C² /2 + I_ZC_D²/2 = 3,25mV_A², (4.9)

де кутова швидкість обертання котка D визначається як _D = V_E/EP, але з рис. 4.1 видно, що V_E = V_L = V_K = V_A, EP = R_D + r_D = 4R, тому _D=V_A/4R; обчислимо швидкість центра мас С тіла D :

V_C = _DCP = _DR_D = 3V_A/4; (4.10)

I_ZC = M_Di²_DZ = 8m(2R)² = 32mR² - (4.11)

момент інерції тіла D відносно осі Z, яка проходить через центр мас С перпендикулярно до рис. 4.1, обчислено з врахуванням того, що задано радіус інерції i_DZ (див. п. 4.3).

Підставляючи (4.6), (4.7), (4.9) в (4.5), остаточно отримуємо:

T=4,75mV_A² . (4.12)

Визначимо суму робіт всіх зовнішніх сил, що діють на систему, на заданому переміщенні S цієї системи:

A_j^e = A_F+ + + + A_M + A_X_O+ A_Y_O+ + A_F_зч , (4.13)