5. Принцип даламбера для механічної системи

5.1. Принцип Даламбера для системи матерiальних точок можна сформулювати так: при русi системи матерiальних точок всi прикладенi до системи сили (активнi сили i реакцii в`язей), а також сили iнерцiї всiх точок системи (якщо умовно вважати iх прикладеними до самих точок) в кожний момент часу є формально зрiвноваженою системою сил.

На цiй пiдставi головний вектор i головний момент вiдносно довiльноi точки О вказаних сил дорiвнюють нулю. Звiдси одержуємо два векторних рiвняння

, (5.1)

де - рiвнодiйна заданих сил, що дiють на i-ту точку системи;

- рiвнодiйна реакцiй в`язей, що дiють на i-ту точку системи;

19

- сила iнерцii i-тоi точки системи (m_j-маса точки, - її прискорення).

Значення цього принципу полягає в тому , що при його застосуваннi рiвняння руху точки та системи складаються у формi рiвнянь рiвноваги , чим i досягається суттєве спрощення процесу розв`язання деяких задач динамiки. Принцип Даламбера (5.1) дає можливість складати диференціальні рівняння руху системи та визначати прискорення тіл.

За допомогою принципа просто і наочно розв`язуються задачі, в яких по заданому руху системи необхідно визначити реакції накладених на неї зовнішніх в`язей.

5.2. З теорiї вiдомо [1,2], що сили iнерцiї точок напрямленi протилежно до її прискорень , а для твердого тiла сили iнерцiї зводяться до головного вектора , якщо тiло рухається поступально, i до головного момента , якщо тiло обертається навколо осi Z, яка проходить через його центр мас С. Якщо тiло рухається плоскопаралельно, то його сили iнерцiї зводяться до та одночасно.

5.3. При розв’язаннi задач за допомогою принципа Даламбера (5.1) слiд дотимуватись такої послiдовностi дiй:

- зобразити механiчну систему i показати на нiй заданi сили та реакцiї в’язей;

- зобразити на схемi прискорення тiла, рух якого задано або шукається, i в залежностi вiд його напрямку показати прискорення (лiнiйнi та кутовi) решти тiл системи;

- прикласти до всiх тiл системи головнi вектори та головнi моменти сил iнерцiї (див.п. 5.2), знайти їх значення через задане або шукане прискорення;

- вибрати систему координат;

- скласти рiвняння “рiвноваги” отриманої системи сил;

- розв’язати отриману систему рiвнянь вiдносно невiдомих.

Осi координат та точки, вiдносно яких беремо моменти сил, вибирають так, щоб тi невiдомi, якi не пiдлягають визначенню, не входили в рiвняння “рiвноваги”. Якщо з отриманих рiвнянь для всiєї системи неможливо визначити шуканi величини, то розглядають “рiвновагу” окремих складових системи, застосовуючи щоразу рiвняння (5.1).

Приклад 5.1. Визначити натяги ниток для схеми приклада 4.1 (див.c.16).

Розв’язання. Згадаємо, що система складається з трьох тiл (рис. 4.1, б), якi рухаються: тiло А - поступально, тiло В - обертається навколо осi Оz, тiло D - плоскопаралельно. Таким чином сили iнерцii зводяться (див.п. 5.2) до головного вектора для тiла А, до головного момента

2 0

M_B^Ф= -I_ZOε_B для тiла В та до головного вектора i головного момента M_D^Ф = - I_ZCε_D для тiла D. Знак “-” вказує на протилежнi напрямки та M_j^Ф вiдповiдно до прискорення та кутового прискорення _j. Розглянемо окремо “рiвновагу” тiла А (рис.5.1), замiнивши дiю гнучкоi в’язi, що пiдтримує це тiло, ii реакцiєю - це i є натяг нитки, що пiдтримує тiло А. Спроектуємо всi сили на вiсь Х:

ΣX = F + P_Asinα - Ф_A -T₁ = 0 , (5.2)

де Ф_А = m_Aa_A = 1,55m(H), бо a_A = 1,55м/c² i обчислено ранiше (4.16).

Маємо:

T₁ = F + P_Asinα - Ф_A = 8mg + 0,5mg - 1,55m = 81,83m(H).

Тепер розглянемо “рiвновагу” тiла В (рис.3.6, б). Реакцii , нас не цiкавлять, тому

ΣM_O = 0; T₁ KO - T₂LO - M - M_B^Ф = 0 , (5.3)

21

де M_B^Ф= I_ZOε_B = 2mR²a_A/R = 2mRa_A , бо I_ZO обчислено ранiше (4.8), ε_B=a_K/KO = a_A/R ; KO = LO = R_B = R . З (5.3) маємо:

T₂ = (T₁ R - M - M_B^Ф)/R = (81,83mR - mgR - 2mRa_A)/R = 68,92m (H).

Якщо прискорення a_j вiдоме, то реакцii в’язей визначаються досить просто.

Якщо прискорення а_j невiдоме, то його можливо знайти, розглянувши “рiвновагу” всiх тiл, що входять в систему. Для приклада 4.1 досить до рiвнянь (5.2) та (5.3) добавити рiвняння рiвноваги для тiла D (рис.5.1, в):

ΣM_P = 0 ; P_DCP -T₂EP +Ф_ССР + M_D^Ф = 0 . (5.4)

Розв’язавши систему рiвнянь (5.2...5.4) вiдносно T₁ = T₁, T₂ = T₂ i a_A (воно входитиме в вирази для Ф_А, M_B^Ф,Ф_С та M_D^Ф) знайдемо величину а_А та натяги ниток Т₁ i Т₂ . Таким чином можна перевiрити розв’язок приклада 4.1 (c.16).

Приклад 5.2. Вал АD (рис.5.2a) обертається навколо вертикальної осі з постійною кутовою швидкістю ω=10с^-1. До вала приварено невагомий стержень 1 з точковою масою m₁=4кг на кінці і однорідний ламаний стержень масою m=m₂+m₃=15кг, який складається з частин 2 (DN) i 3(NM): їх маси пропорційні довжинам. Нехтуючи масою вала, визначити реакції підшипника B та підп’ятника А, якщо l₁=c=0,3м; l₂=DN=b=0,6м; l₃=NM=0,4м, AB=c; BD=b; α=60^o.

22

Розв’язання. Для розв’язання задачі використаємо принцип Даламбера (5.1). Об’єктами руху є невагомий стержень 1 з точковою масою m₁ на кінці, однорідний стержень 2 з масою m₂ та однорідний стержень 3 з масою m₃. Зображаємо на рис.5.2 три сили тяжіння , та (P₁=m₁g=39,24H, P₂=m₂g=88,29H, P₃=m₃g=58,86H; тут m₂=9кг m₃=6кг, бо m₂:m₃=l₂:l₃ ). Зв’яжемо з валом АD рухому систему координат, напрямивши вісь Z уздовж осі обертання вала.

При рівномірному обертанні вала АD (ε = dω/dt = 0) кожна точка механічної системи має лише відцентрову силу інерції:

• для точкової маси або (H);

• для кожної елементарної ділянки стержня 2 довжиною dS (рис.5.2б), взятої на віддалі S від точки D, маємо , тоді рівнодійна цих елементарних сил є інтегральною сумою:

(H).

Точка прикладання сили інерції знаходиться в центрі ваги її розподілу, а саме – на віддалі DK=2l₂/3 від точки D.

Для стержня 3 сили інерції розподіляються рівномірно уздовж нього, бо стержень 3 паралельний до осі обертання Z і знаходиться на віддалі від нього:

=311,76 (Н);

Точка прикладання сили інерції знаходиться в центрі ваги її розподілу, а саме – на віддалі 0,5NM від точки N.

Через те, що діючі на систему сили ( , , , , , ) лежать в площині YZ, то реакції опор також лежать в цій площині, тому на рис.3.7а зображаємо , та . Для плоскої довільної системи сил у відповідності з (5.1) складемо три рівняння “рівноваги”:

; ;

; ;

; ,

де CE=DC sin α = l₂ sin α/2, AL=AD+DК cos α = c + b +2l₂ cos α/3, MN=l₃=0,4м.

23

З першого рівняння маємо

= -2091,38(H).

З другого рівняння знаходимо:

(H).

З останнього рівняння визначимо: Z_A=P₁+P₂+P₃=186,39 (H).

Знак “-” вказує на те, що напрям на рис.5.2а вибрано неправильно.

Перевірка:

.

Задача розв’язана правильно.

Відповідь: Y_A=1665,8H, Z_A=186,39H, Y_B= -2091,38H.