6.Принцип можливих переміщень

6.1.Можливими (або віртуальними) переміщеннями системи називаються уявні, ескінченно малі її незалежні переміщення, що дозволяються в'язями системи в даний момент ( в даному її положенні).

Наприклад, якщо тіло має нерухому вісь обертання, то можливим переміщенням тіла з його даного положення є обертання в той або інший бік навколо цієї осі на нескінченно малий кут . Під можливими переміщеннями системи, яка під дією сил знаходиться в рівновазі, слід розуміти не дійсне її переміщення (якщо система в спокої і не рухається), а лише одне з тих переміщень, які система могла б в даному її положенні при існуючих в'язях мати, якби порушилась її рівновага.

Можливе переміщення точки В_j позначають знаком . або на відміну від дійсного переміщення або .

6.2. Перш ніж користуватися принципом можливих переміщень (6.1) для розв'язання задач, необхідно по одному з підручників [1,2] ознайомитися з класифікацією в'язей, які можуть накладатися на систему: особливу увагу необхідно звернути на стаціонарні, утримуючі та ідеальні в'язі. Властивість ідеальних в'язей полягає в тому, що сума робіт цих реакцій в 'язей на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулеві. Принцип можливих переміщень використовує вказану особливість ідеальних в'язей і умову рівноваги системи дає у формі рівняння роботи сил, які діють на систему:

. (6.1)

24

Таким чином, для рівноваги системи зі стаціонарними утримуючими ідеальними в'язями необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт всіх

заданих сил, що діють на систему, на будь-якому можливому її переміщенні дорівнювала нулеві. Цей принцип ефективний при розв'язуванні задач на рівновагу системи тіл.

Якщо серед в'язей, накладених на систему, є в'язі з тертям (не гладенькі), то до заданих сил треба віднести і сили тертя.

6.3. При розв'язанні задач за допомогою (6.1) дотримуються такого порядку:

- вибрати систему тіл, рівновагу якої треба розглянути;

- визначити число ступенів вільності вибраної системи;

- з'ясувати які сили, що діють на систему, треба враховувати в (6.1);

- показати всі сили на рисунку;

- дати системі одне з незалежних можливих переміщень і показати на рисунку тих точок, до яких прикладені сили;

- скласти рівняння робіт (6.1);

- встановити залежність між і визначити всі ці величини через яку-небудь одну з них;

- розв'язати одержане рівняння.

Якщо у системі є декілька ступенів вільності, то необхідно скласти рівняння робіт (6.1) для кожного незалежного можливого переміщення системи окремо.

Приклад 6.1. Механізм (рис. 6.1, а) розташований в горизонтальній площині і знаходитья в рівновазі під дією прикладених до нього сил. Стан рівноваги визначається кутами . Визначити чому дорівнює деформація пружини і вказати на вид її деформації. Розрахунки провести для 60^о, 180^о, 60^о, 0^о, 120^о; ОА=0,4 м; АК=КD, k=125Н/см, М=150Нм, Q=350H. Побудову схеми почати з кута .

Р озв’язання. Побудову механізму починаємо з кута і решту кутів відкладаєм згідно напрямків на схемі (рис. 6.1). Отримана схема зображена на рис. 6.2. Система має один ступінь вільності (свободи), тому використаємо принцип можливих переміщень (6.1) лише один раз. Щоб записати (6.1) для нашого випадку надамо системі можливого переміщення, тоді кожна точка системи отримає своє переміщення.

25

Наприклад, вважаємо, що переміщення відбувається в напрямку дії момента М ( . Щоб отримати правильні напрями переміщень точок D та С, шукаємо миттєвий центр швидкостей для ланки AD, і зображаємо та ( рівносторонній). Аналогічно шукаємо МЦШ Р для ланки КВ, поворот якої навколо Р за годинниковою стрілкою: відповідно напрямляємо . Вважаємо, що при рівновазі пружина стиснута (відповідь зі знаком “+” підтвердить наше припущення, а зі знаком “-“ спростує його) і зображаємо силу пружності на рис 6.2.

Складаємо рівняння робіт (6.1) для нашого випадку:

, де . (6.2)

Наше завдання полягає в тому, щоб зв’язати між собою можливі переміщення, , та : залежність між можливими переміщеннями точок така сама, як і між відповідними швидкостями точок при русі механізму, бо .

За теоремою про проекцію швидкостей двох точок А та В тіла на лінію, що з’єднує їх маємо:

або ,

звідси , .

Аналогічно з проекції на пряму ВК маємо:

або .

26

Через те, що кут повороту малий, то . Всі можливі переміщення в (6.2) знайдено через . Підставимо ці значення в (6.2):

,

звідси =-(150/0,4+350)/0,433=-1674,36(Н),

тоді: -1674,36/125=-13,4(см).

Знак “-“ свідчить про те, що пружина не стиснута, як ми вважали спочатку, а розтягнута.

Відповідь: при рівновазі механізму (рис. 6.2) пружина розтягнута на 13,4 см.

6.4. Якщо необхідно визначити будь-яку реакцію ідеальної в'язі, для якої , то при складанні рівняння (6.1) необхідно:

- подумки відкинути цю в'язь (тільки одну!) і замість неї прикласти реакцію цієї в'язі;

- віднести шукану реакцію в'язі до сил, що задаються;

- не порушуючи всіх інших в'язей та враховуючи ті обмеження, які ці в'язі накладають на систему, надати системі можливе переміщення, якого не допускала відкинута в'язь і показати на рисунку всіх точок, до яких прикладені сили;

- скласти рівняння робіт (6.1);

- встановити залежність між ;

- розв'язати отримане рівняння відносно невідомої.

Приклад 6.2 Визначити за допомогою принципа можливих переміщень реакції опор складеної балки (рис. 6.3, а) і перевірити отримані результати, склавши рівняння рівноваги для всієї конструкції. Відомо, що P=10 кH, F=30 кH, M=8 кHм, q=6 кH/м, b=1 м, а =30°.

Розв'язання. Реакцію жорсткого защімлення А (рис. 6.3) розкладаємо на три складові - .

а) Знайдемо М_А. В цьому випадку відкидаємо в'язь, яка заважає повороту в точці А, замінивши її дію моментом , а інші в'язі (горизонтальну та вертикальну) залишаємо без змін: тобто замість жорсткого защемлення на рис. 6.3, г зображаємо шарнірно нерухому опору.

Надаємо балці можливе переміщення в напрямку відкинутої в'язі, тоді балка АС повернеться навколо точки А на кут і при цьому точка С займе положення піднявшись на , а балка CD повернеться навколо опори В на кут . Нове положення конструкції зображено на рис. 6.2 г суцільною лінією, а старе положення - пунктиром. Покажемо там же всі сили, що діють

27

на балку, включаючи момент М_А, та можливі переміщення всіх точок, де прикладені сили. Складаємо рівняння робіт (6.1):

q

30^o

C

B

A

M

2b

2b

b

b

b

C

A

M

C₁

A

B

C

M

M_A

C₁

A

C

M

B

C

A

Рис. 6.3

. (6.3)

Знайдемо можливі переміщення які входять в (6.3) через (b=1м): ( ); з подібності трикутників, які розташовані праворуч від точки С, маємо:

, звідки Підставляємо ці залежності в (6.3) і виносимо за дужку, маємо:

,звідки

або

28

.

Розв'яжемо це рівняння відносно М_А і отримаємо :

, де 12 кН.

Зауважимо, що студенти приводять всі розрахунки повністю; знак "-" вказує, що напрямок М_А на рис. 6.3, г вибрано неправильно.

б) Знайдемо У_А. В цьому випадку відкидаємо в точці А (рис. 6.3, а) вертикальну в'язь, а дві інші залишаємо: замість жорсткого защемлення зображаємо повзун, до якого приваримо балку, бо поворот навколо точки А відсутній.

Надаємо можливе переміщення в напрямку відкинутої в'язі; розрахункова схема зображена на рис. 6.3, в; рівняння (6.1) у цьому випадку має вигляд:

(6.4) де (рис. 6.2в), , , тому що . З (6.4) маємо

,

але , тому , звідки

кН.

в) Знайдемо Х_А. Тепер відкинемо в точці А лише горизонтальну в'язь. Розрахункова схема зображена на рис. 6.3, д. Після того, як надамо можливе переміщення в напрямку відкинутої в'язі, вся система зміститься вліво на , тобто , а роботу виконують лише сили та (решта перпендикулярні до осі переміщення; пара сил з моментом М роботи не виконує, бо відсутній кут повороту для балки):

або , звідки : 25,98 (кН).

г) Знайдемо Y_B (рис. 6.3,б). Складаємо рівняння робіт (6.1):

, (6.5)

де , звідки , . Підставляємо ці співвідношення в (6.5):

,

але , тому , звідки

48 (кН),

де 24 кН.

29

Перевірка (для всієї системи на рис. 6.3 а):

25,98-25,98=0;

-10+48-24-12+15-17=63-63=0;

= .

Задача розв'язана правильно.

Відповідь: -33 кНм, 25,98 кН, -17 кН, 48 кН.