1.5.4. Решение системы методом Гаусса

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками (см. ). В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок получают значения всех неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

3 х₁ + 2х₂ + х₃ = 17

2х₁  х₂ + 2х₃ = 8

х₁ + 4х₂  3х₃ = 9

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

В =

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В 

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

В 

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако, чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В 

Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:

В 

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений равносильную данной

х ₁ + 4х₂  3х₃ = 9

х₂  2х₃ = 0

 10х₃ = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х₃ = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х₂ = 2х₃ = 2  1 = 2.

После подстановки х₃ = 1 и х₂ = 2 в первое уравнение для х₁ получим х₁ = 9  4х₂ + 3х₃ = 9  4  2 + 3  1 = 4.

Итак, х₁ = 4, х₂ = 2, х₃ = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3  4 + 2  2 + 1 = 17 верно

2  4  2 + 2  1 = 8 верно

4 + 4  2  3  1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

1.6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными

1.6.1. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

а ₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nx_n = b₂ (2)

……………………………….

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnx_n = b_m

Определение 18. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение 19. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы уравнений).

Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, r(A) = r (В) = r, где r называется рангом системы, причем

1. если r = n, то система имеет единственное решение, т.е. определена;

2. если r  n, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. система неопределенна.