2.4. Закон динаміки обертального руху абсолютно твердого тіла

Усяке тверде тіло можна умовно розбити на деяку кількість n настільки малих частин, що розмірами кожної частини порівняно з розмірами твердого тіла можна нехтувати. Це дає змогу розглядати тверде тіло як сукупність скінченого числа n матеріальних точок. Маса тіла , де –маса і – тої матеріальної точки, причому і = 1, 2, 3, ..., n. Розглянемо закономірності руху тіла, закріпленого в нерухомій точці О, яка міститься в початку інерційної системи відліку. У цьому випадку точка О є центром обертання. Положення кожної і – тої матеріальної точки визначається її радіус-вектором , проведеним від центра обертання О до даної точки.

Рівняння руху довільної матеріальної точки тіла можна записати згідно (2.8)

, (2.15)

де - сумарна зовнішня сила, що діє на -ту матеріальну точку, а - сума внутрішніх сил, що діють на точку з боку інших частинок тіла: .

Помножимо вираз (2.15) векторно на :

Врахувавши особливості виведення виразу (2.13) для однієї точки, отримаємо:

, (2.16)

де – момент імпульсу i-ї матеріальної точки, – сумарний момент зовнішніх сил, – сумарний момент внутрішніх сил, що діють на дану точку.

Просумувавши вирази, записані для кожної точки, отримаємо для тіла загалом

. (2.17)

Введемо позначення – момент імпульсу тіла відносно точки О, – результуючий (головний) момент зовнішніх сил, що діють на тіло, відносно точки О, і врахуємо¹, що =0.

Кінцево отримаємо:

(2.18)

Коли тіло закріплене у двох нерухомих точках О і О', то воно може обертатися відносно нерухомої осі z , що проходить через ці точки. Обертання відносно даної осі відбувається під дією складової моменту зовнішніх сил . За цих умов рівняння (2.18) зведеться до вигляду:

(2.19)

Проекції L i M на вісь обертання називаються моментом імпульсу тіла та результуючим моментом зовнішніх сил відносно осі обертання z .

Знайдемо вираз для розрахунку моменту імпульсу тіла відносно заданої осі обертання :

.

Обертання відбувається навколо нерухомої осі, жорстко пов’язаної з тілом, і всі частини тіла здійснюють плоскі рухи в площинах, перпендикулярних до осі z . За цих умов потрібно враховувати складові та , що перпендикулярні до осі z . Тому

, (2.20)

де – відстань від осі обертання, а – кутова швидкість обертання.

Таким чином,

,

де – момент інерції абсолютно твердого тіла відносно осі z . У інтегральній формі, коли тіло розглядають як сукупність нескінченно малих елементів маси , вираз для запишемо у вигляді:

, (2.21)

де R – відстань елементарної маси від осі обертання.

З наведених вище виразів випливає, що момент інерції тіла залежить від його маси, геометрії тіла та положення осі обертання відносно тіла. Зокрема, моменти інерції однорідних тіл правильної геометричної форми можна обчислити за допомогою наступних виразів:

1. Порожнистий тонкостінний циліндр маси m та радіуса R відносно геометричної осі симетрії , що проходить через центр маси:

2. Порожнистий товстостінний циліндр масою m та радіусами циліндричних поверхонь і відносно геометричної осі симетрії , що проходить через центр маси:

3. Суцільний циліндр (диск) масою m та радіусом R відносно геометричної осі симетрії , що проходить через центр маси:

4. Куля масою m та радіусом R відносно осі, що проходить через центр мас кулі:

.

5. Однорідний тонкий стрижень маси m, довжини l відносно осі, що перпендикулярна до стрижня і проходить через його центр мас:

6. Однорідний стрижень маси m і довжини l відносно осі, що перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець:

Якщо вісь обертання зміщена відносно центра мас тіла, то для розрахунку моменту інерції тіла користуються виразом, отриманим на основі теореми Гюйгенса – Штайнера: момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла відносно осі, яка проходить через його центр мас і паралельна заданій , і добутку маси тіла на квадрат відстані a між осями:

(2.22)

Прикладом, що ілюструє правильність теореми Гюйгенса – Штайнера, є результат розрахунку моменту інерції однорідного стрижня довжини l та маси m відносно осі, що проходить через центр мас перпендикулярно до стрижня та відносно осі, що проходить через його кінець перпендикулярно до стрижня :