2. 2. Закони динаміки системи матеріальних точок. Теорема про рух центра мас

Розглянемо систему, що складається з - матеріальних точок ( - скінченне число). Рух такої системи зручно описувати, ввівши поняття центра мас системи. Нехай маса - тої точки , а її координата . Центром мас системи вважаємо точку, координата якої може бути визначена із співвідношення

, (2.6)

або

,

де M - сумарна маса системи матеріальних точок.

Встановимо закон руху центра мас. Для цього використаємо закономірності руху кожної з точок системи. Оскільки - імпульс -тої точки, то сумарний імпульс системи:

. (2.7)

З рівняння руху довільної матеріальної точки:

, (2.8)

де - зовнішня сила, що діє на матеріальну точку, а - сума внутрішніх сил, які діють на - ту матеріальну точку з боку інших точок системи: ( , оскільки і-та матеріальна точка сама з собою не взаємодіє. Таким чином рівняння руху системи матеріальних точок може бути записане у вигляді:

.

Згідно з третім законом Ньютона , тому

. (2.9)

З останнього виразу випливає, що центр мас системи матеріальних точок рухається так, як рухалося б тіло масою під дією всіх прикладених зовнішніх сил.

2.3. Закон динаміки обертального руху матеріальної точки

Розглянемо обертальний рух матеріальної точки масою відносно точки О під дією сили , яка в даний момент часу лежить в площині руху

(рис.2). Складова сили надає матеріальній точці т ангенціального прискорення, модуль якого . Тоді .

Дія нормальної складової сили зводиться лише до надання точці нормального приско-рення (закручування траєкторії). Оскільки за даних умов , то:

Домножимо вираз на :

.

Увівши позначення , , , запишемо останній вираз у вигляді:

, (2.10)

де – момент сили відносно точки О, l – плече сили, - момент інерції матеріальної точки відносно точки О.

Вираз (2.10 ) за своїм виглядом є аналогом другого закону Ньютона для криволінійного руху з тією різницею, що аналогом сили є момент сили , маси – момент інерції , прискорення – кутове прискорення .

Оскільки точка рухається по колу сталого радіуса (r=const), то її момент інерції також сталий (I=const). Тоді вираз (2.10) можна звести до вигляду:

.

У векторному записі (рис.3)

. (2.11)

В ектор називають моментом імпульсу мате-ріальної точки відносно точки О. Даний вектор, який в умовах цієї задачі чисельно дорівнює , є аналогом вектора імпульсу для прямолінійного руху.

Розглянемо загаль-ний випадок, коли сила не лежить в одній площині з існуючою коловою траєкторією. За другим законом Ньютона рівняння руху матеріальної точки маси має вигляд:

Домножимо даний вираз векторно на . Тут – радіус-вектор матеріальної точки масою m, проведений з деякої нерухомої точки О (центра обертання) до точки . Зауважимо, що =const, оскільки розглядаємо лише обертовий рух. Тоді

Ліву частину останнього виразу запишемо у вигляді:

(2.12)

оскільки = =0.

Вектор назвемо моментом імпульсу матеріальної точки відносно точки О, а вектор – моментом сили відносно точки О. Ввівши згадані позначення у вираз (2.12), отримаємо

(2.13)

Вираз = називають рівнянням моментів.

Після перетворення вираз (2.13) кінцево можна записати у вигляді, подібному до (2.10):

, (2.14)

оскільки , а =0, бо .

У останньому перетворенні використана відома формула для подвійного векторного добутку.

Якщо через точку О провести довільну вісь z , то проекції векторів і на цю вісь і називають відповідно моментом сили відносно осі z та моментом імпульсу матеріальної точки відносно осі (рис.4 і рис.5).