9. Математичний додаток
9.1. Вектори та математичні дії з векторами.
Величини, для визначення яких достатньо знати лише їхнє числове значення, називають скалярами.
Величини,
що характеризуються числовим значенням
і напрямом, називаються векторами.
Числове значення вектора називається
його модулем (числовою величиною):
–
модуль вектора.
Вектори,
які напрямлені уздовж паралельних
прямих, називають колінеар-ними.
Колінеарні век-тори можуть
бути паралельними і анти-паралельними.
Вектори, які паралельні до однієї площини, називають компланарними.
Однакові за модулем колінеарні вектори, напрямлені в один бік, вважаються рівними; рівні за модулем антипаралельні вектори вважаються такими, що мають різні знаки (див. рис. 55).
9.1.1. Елементарні дії з векторами
Вектори можна додавати та віднімати. При цьому пам’ятаємо, що паралельне перенесення вектора не змінює його (ні модуль, ні напрямок).
а). Додавання векторів.
Вектори
можна додавати за правилом паралелограма.
Сума двох векторів
і
(рис.
56, а) є діагоналлю
паралелограма, сторонами якого є вектори
і
(рис.
56, б), при цьому початки векторів суміщають.
Іншим
способом додавання векторів є побудова,
у процесі якої вектор
переносять
паралельно самому собі таким чином, щоб
його початок співпав із кінцем вектора
.
У разі цього сумарний вектор
з’єднує
початок вектора
з кінцем перенесеного вектора
(рис.
56, в). Останній метод побудови сумарного
вектора зручніший у задачах, в яких
потрібно знайти суму трьох і більше
векторів (рис. 56, г).
б
).
Віднімання векторів.
Різницею двох векторів і є вектор , який у сумі з вектором дає вектор :
,
(9.1)
в). Радіус-вектор.
Радіус-вектором точки називають вектор, який проведено з початку координат у дану точку. Радіус-вектор однозначно визначає положення точки у просторі.
г). Розкладання радіус-вектора на складові (рис. 58).
Кожен
вектор
можна
розкласти на складові, сума яких дає
вектор
.
На рисунку
орти,
вектори, довжина яких дорівнює одиниці
(
=1),
а напрями співпадають відповідно з
осями
.
(9.2)
д). Проекція вектора на вісь (рис. 59).
Р
озглянемо
вектор
,
що лежить у площині
.
Проекція вектора
на
вісь
–
відрізок між проекціями точок, що
відповідають коор-динатам початку і
кінця вектора на вісь
.
(9.3)
Подібно:
(9.4)
е). Множення вектора на скаляр.
Унаслідок
множення вектора
на скаляр
отримується
вектор
,
модуль якого у
разів більший за модуль
,
а напрям визначається знаком
:
,
тому
при
та
при
.
Ділення
вектора на скаляр
рівнозначне множенню цього вектора на
.
9.1.2. Скалярний добуток двох векторів
Скалярним добутком двох векторів і називається скаляр, що чисельно дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними (рис. 60).
(9.4)
, (9.5)
оскільки
,
а
.
9.1.3. Векторний добуток двох векторів
Векторним добутком двох векторів і називають вектор (див. рис. 61), який має наступні властивості:
а) модуль вектора дорівнює добутку модулів векторів і на синус кута між ними;
б) вектор перпендикулярний до площини, у якій лежать вектори і , причому його напрям визначається правилом правого гвинта: якщо дивитися у напрямі , то поворот, здійснений від першого множника до другого, повинен здійснюватись по найкоротшому шляху за ходом годинникової стрілки.
(9.6)
(9.7)
П
ростою
геометричною інтерпретацією вектор-ного
добутку є наступне (див. рис. 62): вектор-ний
добуток двох векторів чисельно дорів-нює
площі паралело-грама, побудованого на
векторах
і
:
(9.8)
Вираз для векторного запису векторного добутку двох векторів у проекціях на осі має наступний вигляд:
(9.9)
Вираз (9.9) отримується шляхом розрахунку наступного визначника:
