8.5. Енергія пружних хвиль

Знайдемо енергію, яку переносить хвиля у пружному середовищі. Розглянемо плоску хвилю, що поширюється в напрямі Оx:

Виділимо в середовищі об’єм настільки малий, щоб у цьому об’ємі всі частинки речовини коливались в однаковій фазі, маючи при цьому однакову швидкість. Кінетична енергія коливних частинок в даному об’ємі:

, (8.18)

де - густина середовища.

Швидкість частинок знайдемо, диференціюючи рівняння хвилі

Таким чином, кінетична енергія W_K залежатиме від часу:

(8.19)

Щоб позбавитися цієї залежності, зробимо усереднення за один період. Тоді

.

За аналогією з міркуваннями про середні кінетичну та потенціальну енергії гармонійного коливання (див. §7.2) можна показати, що

.

Тоді повна середня механічна енергія

Знайдемо тепер середню механічну енергію, що припадає на одиницю об’єму середовища, в якому поширюється хвиля (густину енергії)

(8.20)

Отже, у напрямі свого поширення хвиля переносить деяку енергію. Густину потоку енергії, що несе хвиля, обчислимо як

(8.21)

Густина потоку - це кількість енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиничний плоский переріз ( ), перпендикулярний до напряму поширення хвилі.

Тепер, знаючи густину потоку, легко обчислити повну енергію, яку переносить хвиля через довільну поверхню S за одиницю часу:

. (8.22)

8.6. Інтерференція хвиль. Стояча хвиля

Якщо в середовищі поширюються одночасно декілька хвиль, то коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань, які б здійснювали ці частинки під дією кожної з хвиль зокрема. Коливання під дією хвиль додаються одне з одним, не збурюючи самих хвиль. Це явище називають суперпозицією хвиль.

Найцікавішим є додавання коливань, збурених хвилями однакової циклічної частоти ( ) і сталої різниці фаз. Такі хвилі називають когерентними, а додавання коливань, збурених когерентними хвилями, інтерференцією хвиль.

Окремим випадком інтерференції є накладання двох зустрічних когерентних хвиль однакової амплітуди. За цих умов у середовищі виникає коливний процес, що називається стоячою хвилею. Стоячу хвилю можна отримати, зокрема, під час додавання зустрічних хвиль.

Запишемо рівняння двох зустрічних когерентних хвиль і знайдемо їх суму:

і

(8.23)

Рівняння (8.23) є рівнянням стоячої хвилі. З даного виразу видно, що сумарне коливання здійснюється з циклічною частотою , а амплітуда коливань залежить від координати. Для зручності обговорення виразу виберемо початок відліку координати Х таким чином, щоб , а початок відліку часу t таким, щоб (реально це ). Тоді вираз (8.23) зведеться до вигляду:

, (8.24)

тут – амплітуда стоячої хвилі. У точках х, для яких , амплітуда коливань набуває максимального значення і дорівнює (бо ). Такі точки називають пучностями:

(8.25)

оскільки . Відзначимо, що пучність є не окремою точкою, а площиною, рівняння якої .

У площинах, координати яких:

, ( ), (8.25)

амплітуда коливань дорівнює нулю. Дані точки називають вузлами:

(8.26)

З наведених виразів видно, що відстань між сусідніми вузлами та сусідніми пучностями дорівнює , а відстань між сусідніми вузлом і пучністю дорівнює .

З виразу, що описує залежність амплітуди коливань в стоячій хвилі від координати

можна зробити висновок, що коливання в точках по різні боки від площини вузла відбуваються в протифазі. У ділянці між двома сусідніми вузлами коливання відбуваються в однаковій фазі.

Характерною особливістю стоячої хвилі є те, що тут відсутнє передавання енергії від одних точок середовища до інших, як це відбувається у біжучій хвилі.

Для виникнення стоячої хвилі в обмеженому середовищі необхідне узгодження частоти коливань джерела хвилі з відповідним характерним розміром середовища (наприклад, з довжиною об’єкта l вздовж якого поширюються пряма і відбита хвилі). Покажемо це на прикладі поперечних коливань стрижня, закріпленого в одній точці, та коливань струни, закріпленої в обох кінцях.

Якщо один кінець стрижня довжиною l закріпити, а по іншому кінцю (незакріпленому) вдарити молотком перпендикулярно до l, то всередині стрижня виникне стояча поперечна хвиля (рис. 52), причому в закріпленому кінці стрижня буде вузол, а у вільному – пучність.

Між довжиною стрижня l і довжиною стоячої хвилі  виконується співвідношення:

, (8.27)

(в довжину стрижня повинна вкладатись непарна кількість ).

Власні частоти коливання стрижня наступні:

, (8.28)

або (8.28а)

де – фазова швидкість поширення поперечної чи поздовжньої хвилі в матеріалі стрижня, - частота коливань.

У закріпленій в обидвох кінцях струні вузли коливань будуть в точках закріплення струни.

Тому в довжину струни завжди повинна вкладатись парна кількість :

, (8.29)

Відповідно циклічна частота, що відповідає можливим стоячим хвилям:

(8.30)

Частоти коливань струни називають власними частотами:

(8.31)

Усі власні частоти кратні , яку називають основною частотою. Власні частоти називають гармоніками.

Подібний результат можна отримати і для поширення поздовжніх коливань у розглянутому вище однорідному стрижні або стовпі рідини чи газу довжиною . У цьому випадку напрям пружних коливань частинок речовини співпадає з напрямом поширення прямої та відбитої хвиль . Нехай джерело коливань (джерело біжучої прямої хвилі) перебуває у площині . У цій площині є пучність коливань, а у протилежному кінці проміжку довжиною відбувається відбивання біжучої хвилі, тому при є вузол коливань. Отже, у випадку поздовжньої стоячої хвилі у проміжок довжини повинна вкладатись непарна кількість , тобто . Власними частотами коливань у поздовжній стоячій хвилі є частоти:

, 1,2,3,... (8.28а)

а відповідне рівняння коливань, аналогічне (8.24):

Проаналізуємо останній вираз за умови (тобто коли . Для цього знайдемо вирази і побудуємо графіки для амплітуд коливань , максимальних швидкостей частинок , кінетичних та потенціальних енергій частинок. Пам’ятаємо, що зміщення частинок під час коливань відбувається у напрямі . За цих умов амплітуда коливань

.

Відповідно, швидкість частинок

,

звідки .

Тоді максимальна кінетична енергія частинок:

,

а максимальна потенціальна енергія частинок середовища у полі пружних сил:

.

Зазначимо, що коливання та в часі проходять таким чином, що за фіксованого :

У точках повна енергія коливань дорівнює нулю, бо у цих точках незалежно від амплітуда коливань і швидкість руху частинок дорівнюють нулю.