7.3.3 Коливання фізичного маятника

Ф ізичний маятник – це тверде тіло, що коливається під дією сили земного тяжіння довкруги горизонтальної осі О, що не проходить через центр мас тіла С (рис.37). На виведене з рівноваги (відхилене на кут ) тіло діє складова сили тяжіння , що створює момент сили, який намагається повернути тіло в положення рівноваги. В даному випадку відсутня сила пруж-ності, однак внесок згаданої складової сили тяжіння подібний за своєю дією пружній силі (квазіпружна сила):

Вектор моменту сили, створений , перпендикулярний до площини рисунка і викликає рух маятника за напрямом руху годинникової стрілки:

де - відстань від точки підвісу О до центра мас С.

Рівняння руху маятника можна записати, згідно (2.10а), у вигляді

де - момент інерції тіла відносно точки О. З урахуванням (7.19а), отримаємо

(7.20)

Для малих коливань, коли , вираз можна звести до вигляду:

,

або:

(7.21)

Розв’язком рівняння (7.21) є функція:

(7.22)

в якій , а період коливань

(7.23)

Вираз (7.23) можна звести до вигляду аналогічному виразу (7.18), ввівши позначення :

, (7.24)

де - зведена довжина фізичного маятника. Зведеною довжиною фізичного маятника називається довжина такого математичного маятника, період коливання якого дорівнює періоду коливання даного фізичного маятника.

Особливістю фізичного маятника є те, що на продовженні осі ОС існує точка О', яка ставши новим місцем підвісу осі обертання забезпечує період коливання, який дорівнює періоду коливання відносно осі О. Такий фізичний маятник із взаємозамінними осями обертання О і О називають оборотним.

7.4. Додавання коливань

У багатьох випадках тіло може одночасно брати участь у декількох коливних рухах. Тому цікавими є задачі, присвячені розрахунку аналітичних виразів, що описують такі складні коливання. Розглянемо деякі типові задачі.

7.4.1. Додавання коливань однакового напрямку

а) Додавання коливань однакової частоти.

Для розв’язку даної задачі звичайно викорис-товують метод вектора амплітуди (метод вектор-них діаграм). Суть методу полягає в наступному. Довільне гармонійне коли-вання зображаємо графічно з допомогою вектора амплітуди . З точки О (див. рис. 38) під кутом до осі проведемо вектор А довжиною, що дорівнює амплітуді. Під час обертання вектора проти напряму руху годинникової стрілки з кутовою швидкістю на будь-який момент часу проекція вектора на вісь дасть миттєве значення :

.

Якщо необхідно додати декілька коливань однакової частоти, ( ; ; і т. д.), то для цього достатньо додати їх вектори амплітуди і знайти вектор амплітуди сумарного коливання. Проілюструємо це за допомогою додавання двох коливань (див. рис. 39).

Амплітуду результуючого коливання знаходимо за теоремою косинусів, а - з розгляду прямокутного трикутника.

Під час додавання більшого числа коливань зручно користуватись геометричною побудовою сумарного вектора амплітуди і графічного визначення сумарних та .

б) Додавання коливань з близькими частотами. Биття.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакової амплітуди ( ) з частотами і ( ):

Елементарний аналітичний розрахунок для результуючого коливання дає наступний вираз:

(7.25)

Ц ей вираз описує коливання з частотою , амплітуда якого повільно змінюється з частотою меншою за .

Якщо частоти коливань і близькі між собою, то виникає явище, яке називають биттям. У цьому випадку частота , а . Внаслідок виникає коливання з пульсуючою амплітудою (див. рис. 40).