5.1. Закон збереження імпульсу

Для однієї окремо взятої матеріальної точки закон збереження імпульсу є прямим наслідком другого закону Ньютона:

(5.1)

, тут - імпульс сили.

Якщо , то , або

(5.2)

Імпульс тіла залишається сталим, якщо сумарний імпульс прикладених до тіла сил дорівнює нулю. Для системи матеріальних точок використаємо рівняння руху, записане у вигляді, аналогічному (2.9) та (2.9^):

, (5.3)

де - зовнішня сила, що діє на - ту матеріальну точку. Для замкненої системи матеріальних точок права частина виразу (5.3) дорівнює нулю. Тобто і, таким чином,

(5.4)

Це означає, що сумарний імпульс замкненої системи матеріальних точок є величиною сталою.

5.2. Закон збереження моменту імпульсу

Для окремої матеріальної точки з рівняння моментів (2.13) випливає, що момент імпульсу є сталим, якщо імпульс моменту прикладених до точки сил дорівнює нулю:

, або за умови (5.5)

Для системи матеріальних точок, виходячи з рівняння руху (2.17) можна отримати:

, (5.6)

де – відповідно радіус-вектор, маса і швидкість тої матеріальної точки, – сумарна зовнішня сила, що діє на дану точку.

По аналогії з виразом (2.18) для сумарного моменту імпульсу системи матеріальних точок справедливий вираз:

(5.7)

У замкненій системі тіл сумарний імпульс моменту зовнішніх сил дорівнює нулю ( ), а тому сумарний момент імпульсу замкненої системи матеріальних точок є величиною сталою:

5.3. Закон збереження механічної енергії

Розглянемо замкнену систему тіл, у якій діють сили різної природи. Для системи даного типу справедливий загальний закон збереження і перетворення енергії, суть якого наступна: у замкненій системі тіл енергія може передаватися від одного тіла до іншого та переходити з одних видів у інші, однак сумарна енергія замкненої системи залишається незмінною.

Застосуємо даний закон для опису рухів тіл у механіці. Робота сил призводить до зміни кінетичної енергії тіл: . У довільній механічній системі можуть діяти сили різної природи. Оскільки робота гіроскопічних сил дорівнює нулю, то робота, яка призводить до зміни кінетичної енергії може бути виконана лише консервативними та дисипативними силами:

.

Робота консервативних сил виконується внаслідок частини потенціальної енергії системи (4.12): . Тому для роботи дисипативних сил отримуємо:

, (5.8)

тут – повна механічна енергія системи.

Отже, зміна повної механічної енергії замкненої системи тіл дорівнює роботі дисипативних сил. У випадку відсутності дисипативних сил , отримуємо:

, або = (5.9)

Вираз (5.9) відображає закон збереження механічної енергії:

У замкненій системі тіл, де діють лише консервативні сили, сумарна механічна енергія = є сталою.

Ілюстрацією справедливості закону збереження механічної енергії може бути наступний дослід. Нехай над горизонтальним столом закріплена пружина з невагомою пластинкою, що може ковзати по столу без тертя (рис. 14).

Нехай на дану систему налітає тіло масою із швидкістю і прилипає до пластинки. Після зіткнення внаслідок деформації пружини виникне пружна сила, яка загальмує рух тіла :

, (5.10)

тут –жорсткість пружини, - величина деформації. Тіло під час руху виконає роботу проти пружної сили

. В деякій точці з координатою система зупиниться. У разі цього буде виконана робота:

, (5.11)

яка чисельно дорівнює , бо:

, а .

Після зупинки система (пластинка і тіло) розпочне рух у зворотному напрямі внаслідок потенціальної енергії пружної деформації пружини: .

У проміжних станах сума кінетичної і потенціальної енергії зберігається. Тобто при :

. (5.12)