4.2. Кінетична енергія обертального руху
а). Кінетична енергія обертального руху матеріальної точки.
Кінетична
енергія матеріальної точки визначається
її масою та швидкістю:
.
Якщо частинка здійснює рух по колу, не
приймаючи участі в інших рухах, то в
даному виразі
є лінійною швидкістю обертового руху
і
,
де
– кутова швидкість обертового руху , а
–
радіус кола. Таким чином
, (4.5)
де
–
момент інерції матеріальної точки
відносно центра обертання.
б) Кінетична енергія обертального руху абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі.
Кінетична енергія довільного руху абсолютно твердого тіла дорівнює сумі кінетичних енергій усіх матеріальних точок, з яких складається тіло:
(4.6)
Якщо
тіло здійснює лише обертовий рух новколо
нерухомої осі, то швидкість
– тої матеріальної точки
,
де
– відстань точки від осі обертання.
Таким чином:
,
(4.7)
де – момент інерції тіла відносно осі обертання.
Якщо тіло обертається з кутовою швидкістю навколо осі, яка проходить через центр інерції і одночасно здійснює поступальний рух з швидкістю , то сумарна кінетична енергія руху тіла дорівнює:
(4.8)
Прикладами
подібного руху можуть бути рухи обруча
або однорідного диска однакових мас
,
і радіуса
що котяться рівномірно горизонтальною
ділянкою без проковзування з однаковими
швидкостями поступального руху:
+
.
Тобто
, бо
,
а
.
4.3. Консервативні сили. Потенціальна енергія
Якщо на тіло в кожній точці вибраної області простору діє сила певної фізичної природи, то кажуть, що тіло перебуває у силовому полі. Серед існуючих макроскопічних силових полів розрізняють поля трьох типів, математичні описи яких різні: поля консервативні, поля дисипативні та поля гіроскопічних сил.
Консервативними (потенціальними) силовими полями є такі силові поля, в яких робота під час переміщення тіла з деякої точки простору в іншу не залежить від вигляду траєкторії, а залежить лише від координат початку і кінця переміщення. З цього випливає, що в полі консервативних сил робота, виконана під час переміщення тіла вздовж довільної замкненої траєкторії, дорівнює нулю:
(4.9)
У даному виразі позначення 1 і 2 не є межами інтегрування, а лише вказують, що робота виконана під час переміщення тіла з початкового положення1 у кінцеве 2 і навпаки.
Відзначимо, що консервативними є поле сил тяжіння, електростатичне поле та поле пружних сил (у межах застосовності закону Гука).
До неконсервативних сил належать сили дисипативні та гіроскопічні сили.
Дисипативними називають такі сили, повна робота яких у разі довільних рухів тіла в замкнутій системі завжди негативна. Дисипативними є сили тертя і опору, дія яких супроводжується дисипацією (розсіюванням) енергії. Характерною властивістю дисипативних сил є те, що робота виконана ними залежить не лише від початкової і кінцевої координати здійсненого переміщення, але й від вигляду траєкторії. Тому робота цих сил на довільній замкненій траєкторії завжди відмінна від нуля:
(4.10)
Іншим типом неконсервативних сил є гіроскопічні сили: це сили, що залежать від швидкості матеріальної точки і завжди перпендикулярні до неї:
.
Вірогідно,
що робота гіроскопічних сил завжди
дорівнює нулю, оскільки
,
то, відповідно, і
.
Тоді
Прикладами гіроскопічних сил є згадана вище сила Лоренца, яка діє на заряджену частинку в магнітному полі та сила Коріоліса, що діє на тіло під час його руху в системі відліку, яка обертається відносно інерціальної системи відліку.
У
полі консервативних сил робота, яка
виконується під час переміщення тіла
визначається як різниця двох величин,
одна з яких залежить лише від координати
кінцевого положення
,
а інша від координати початкового
положення
.
Тобто:
(4.11)
Величину
назвемо потенціальною енергією тіла в
даній точці з координатою
поля консервативних сил.
–
скалярна функція, яка має сенс енергії
взаємодії сил поля з даним тілом. З
виразу (4.11) випливає, що зміна потенціальної
енергії тіла в полі консервативних сил
чисельно дорівнює роботі, виконаній
силами поля під час переміщення тіла:
(4.12)
Потенціальну
енергію звичайно визначають з точністю
до деякого постійного доданка, оскільки
у виразі для роботи фіксується зміна
,
а тому
Як зазначено вище, консервативними є сили гравітаційні, електростатичні та пружні. Розглянемо деякі конкретні приклади розрахунку потенціальної енергії тіл у цих силових полях.