п очатку координат. Якщо через позначимо одиничний вектор нормалі , то координати будуть (cosα,cosβ,cosγ). На основі §8 їх називають направляючими косинусами нормального вектора. Візьмемо довільну точку на площині і позначимо радіус - вектор через . Тоді . Тепер на основі формули (2.15) маємо

бо Значить, ми одержимо, що або

. (2.81)

Рівняння (2.81) називається нормальним рівнянням площини у векторній формі. Розпишемо рівняння (2.81) у координатній формі, одержимо . (2.82).

В цьому рівнянні віддаль від площини до початку координат і

. (2.83)

Щоб загальне рівняння площини привести до нормального вигляду, потрібно загальне рівняння площини помножити на сталий множник . Одержимо , де , , , .

Піднісши перші три рівності до квадрату і додавши їх, враховуючи (2.83), одержимо

, або . (2.84)

В формулі (2.84) необхідно брати знак протилежний знаку вільного члена в загальному рівнянні площини, так як , де - завжди додатне як віддаль.

Отже, щоб рівняння (2.72) привести до нормального вигляду , треба помножити його на нормувальний множник (2.84).

17.5. Віддаль від точки до площини

Н ехай задано нормальне рівняння площини : і точка поза площиною. Потрібно обчислити віддаль від точки до площини . (мал. 2.46).

Розв’язування. Проведемо через точку площину паралельну до площини (мал. 46). Нормальне рівняння площини запишемо так де віддаль площини від початку координат. Шукана віддаль дорівнює . Тому що точка знаходиться на площині , то і значить . Взагалі

(2.85)

або . (2.86)

§18. Пряма в просторі

В просторі, так як і на площині, одну і ту ж пряму можна задати різними по формі рівняннями.

18.1. Загальне рівняння прямої

Пряму в просторі можна розглядати як лінію перетину двох площин і (мал.47). Тому загальним рівнянням прямої є система двох рівнянь першого степеня , а саме

(2.87)

Координати прямої будуть задовольняти обом рівнянням системи (2.87). Система (2.87) визначає пряму лінію при умові, що нормальні вектори і неколінеарні, бо тільки в цьому випадку площини перетинаються.

18.2. Канонічне рівняння прямої

П оложення прямої лінії в просторі визначається однозначно, якщо відома точка M₀(x₀ y₀ z₀,) ,через яку вона проходить , і відомо напрямний вектор , якому пряма паралельна (мал.48). Візьмемо на прямій довільну точку і позначимо через , а вектор через З малюнка (48) видно , що ,

або . (2.88)

Вектор колінеарний із направляючим вектором , тому

, (2.89)

де - числовий параметр. Тоді (2.88) запишемо у вигляді . (2.90)

Рівняння (2.90) називається векторним рівнянням прямої в просторі. Розпишемо рівняння (2.90) в координатній формі

. (2.91)

Рівняння (2.91) називаються параметричними рівняннями прямої. Якщо параметр змінюється, то точка рухається по прямій

Виключивши параметр із рівнянь (2.91) , одержимо

Звідси

. (2.92)

Рівняння (2.92) називаються канонічними рівняннями прямої в просторі, а координати і вектора - направляючими коефіцієнтами прямої.

В канонічних рівняннях (2.92) величини і не можуть одночасно перетворюватися в нуль, так як , але деякі із них можуть дорівнювати нулю.

Нехай, наприклад, , то із рівнянь (2.91) одержимо таку систему

(2.93)

Кожне із цих двох рівнянь визначає площину, а система рівнянь (2.92) визначає пряму. В цьому випадку рівняння (2.92) можна записати умовно так:

. (2.94)

Система рівнянь (2.93) або (2.94) визначає пряму, яка перпендикулярна до вісі , так як . Якщо які-небудь два направляючих коефіцієнти рівні нулю, наприклад, m=0,n=0, p≠0, то із рівняння (2.91) одержимо, що

(2.95)

Рівняння (2.92) умовно запишеться так:

. (2.96)

Пряма, яка визначається системою (2.95), або (2.96) паралельна осі і перпендикулярна до осей і .

Канонічні рівняння прямої (2.92) можна представити як сукупність двох рівнянь, наприклад

і . (2.97)

Кожне із цих рівнянь представляє площину. Перша площина паралельна вісі , так як в рівнянні відсутня координата , а друга паралельна осі .

Таким чином, пряму можна розглядати як перетин двох площин, тобто канонічні рівняння прямої (2.92) записали у загальному вигляді прямої (2.97).