Задача Энгессера об устойчивости сжатого стержня из нелинейно - упругого материала
В 1889 г. Ф. Энгессер (Германия) предложил расширить область применения формулы Эйлера путём введения вместо упругого модуля переменного касательного модуля :
(9.58)
Формула
(9.58) носит название формулы Энгессера
для касательно- модульной нагрузки.
Ошибка Энгессера состояла в том, что он
не учёл за пределом упругости различие
законов нагрузки и разгрузки, потому
получил формулу бифуркационной нагрузки
для нелинейно - упругого тела. Свою
ошибку он понял в 1895 году после критического
замечания Ф. Ясинского. При изгибе
стержня под действием продольной силы
Р
возникает дополнительная деформация
продольного волокна АВ
на расстоянии
(рис.
9.24,б), равная:
Так
как
то
имеем:
Согласно
рис. 9.23,в
в произвольной точке
диаграммы
нелинейно-упругого тела догрузка и
разгрузка происходят по одному и тому
же закону:
(9.59)
Изгибающий момент , возникающий в результате выпучивания стержня:
а) б) в)
Рис. 9.23
Подставляя
вместо
его
выражение (9.59), находим:
С другой стороны, из условия равновесия отсечённой части стержня имеем:
Приравняв моменты, получаем:
Дифференцируя дважды, получаем:
или
(9.60)
где
(9.61)
Уравнение (9.60) в точности совпадает с (9.27) для упругого стержня. Отличие задачи состоит лишь в том, что выражение (9.61) для k2 иное, чем (9.26) в линейно-упругом случае.
Общее решение уравнения (9.60) имеет вид
(9.62)
Дальнейший ход решения конкретных задач ничем не отличается от задачи Эйлера. Из (9.55) находим формулу (9.58) Энгессера:
Для бифуркационного значения напряжения по Энгессеру имеем:
(9.63)
откуда
(9.64)
Задавая
значение
из
(9.64), вычисляем гибкость
и
строим диаграмму критических, а точнее
бифуркационных значений напряжений
(рис. 9.24).
а) б)
Рис. 9.24
Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости. Формула Кармана
Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам (рис. 9.25):
-
при догрузке
-
при разгрузке
Нейтральная
ось дополнительных деформаций не
совпадает с центральной осью, как при
упругом изгибе, и определяется координатой
.
Поэтому представим их в виде:
(9.65)
Эп.
Эп.
Рис. 9.25 Рис. 9.26
Величина
даёт
границу зон пластической догрузки и
упругой разгрузки с площадями
и
соответственно.
На границе раздела зон
имеем:
откуда следует:
Следовательно, выражение (9.65) можно записать в виде
(9.66)
Вычислим
с учётом (9.65) дополнительные нормальную
силу
и
момент
,
возникающие при выпучивании стержня
по методу проб Эйлера – Кармана –
Зубчанинова:
откуда находим
(9.67)
где
Так как
то,
исключая
,
,
,
соотношения (9.67) приведём к виду:
(9.68)
где
(9.69)
Величина К называется приведённым модулем Кармана–Ильюшина. С другой стороны, из уравнений равновесия отсечённой части стержня (рис. 9.16,б) имеем:
(9.70)
Сравнивая (6.66), (9.70), получим:
(9.71)
(9.72)
Дифференцируя дважды уравнение (9.72), находим:
(9.73)
Применяя к исследованию устойчивости стержня метод проб, будем считать dP = 0 при сколь угодно малом выпучивании стержня. Тогда из (9.68), (9.71) следует уравнение
(9.74)
из
которого можно найти границу раздела
зон
.
При этом изгибная жёсткость
также
будет постоянной величиной. Дифференциальное
уравнение (9.73) может быть записано в
виде:
(9.75)
где
(9.76)
Таким
образом, задача о потере устойчивости
за пределом упругости свелась к решению
уравнения (9.75), которое совпадает с
уравнением (9.27) для упругой задачи
Эйлера. Отличие задач заключается в
различии выражений (9.27) и (9.76) для величины
.
Поэтому формула для нагрузки бифуркации
за пределом упругости может быть получена
из формулы Эйлера (9.33) простой заменой
модуля Е на приведённый модуль К:
(9.77)
Формула (9.77) определяет бифуркационную нагрузку Кармана. Её также называют приведенно-модульной нагрузкой. Формула для бифуркационного значения напряжения имеет вид:-
(9.78)
Так
как К зависит от
,
то построение диаграммы бифуркационных
значений напряжений
производится
так же, как и для задачи Энгессера.
Формула (9.75) представляется в виде:
(9.79)
Задавая
,
вычисляют
,
а затем гибкость
и
строят диаграмму
.
Вычислим приведённый модуль
для
некоторых частных случаев поперечного
сечения.
а) Рассмотрим случай идеализированного двутавра (рис. 9.27,а). Геометрические характеристики сечения:
Уравнение (9.74) принимает вид
откуда находим границу раздела зон:
а) б)
Рис. 9.27
Согласно соотношению (9.69) получим:
(9.80)
б) В случае прямоугольного сечения (рис. 9.27,б)
Уравнение (9.74) принимает вид
откуда находим границу раздела зон:
Приведённый модуль , согласно (9.69), равен:
(9.81)
Из
(9.74), (9.80) видно, что приведённый модуль
явно зависит от
,
.
Поэтому при построении диаграммы
критических (бифуркационных) напряжений
сначала строятся зависимости
и
от
.
На основании диаграммы сжатия (рис.
9.28,а) находится касательный модуль
как
функция напряжения
,
а затем по формулам (9.69), либо (9.80), (9.81)
вычисляется приведённый модуль
.
После этого по формуле (9.79) строится
диаграмма критических напряжений
.
Приведём
более простой вывод формулы Кармана
для приведенно-модульной критической
силы. Обозначим радиус кривизны
нейтрального слоя буквой
в
отличие от радиуса
оси
стержня. Расстояние от нейтрального
слоя до текущего волокна
,
а перемещение точек этого слоя
.
а) б) в)
Рис. 9.28
Тогда дополнительные напряжения:
где принято
Дополнительные нормальная сила и изгибающий момент:
(9.82)
где
статические
моменты и моменты инерции площадей F1,
F2 для зон пластической догрузки и упругой
разгрузки;
–
момент инерции всей фигуры относительно
нейтральной оси,
(9.83)
приведённый модуль Кармана. Из уравнения равновесия отсечённой части потерявшего устойчивость стержня имеем:
Сравнивая с (9.82), получаем дифференциальные уравнения:
После двукратного дифференцирования первого уравнения получаем:
(9.84)
где
(9.85)
Для случая идеализированного двутавра (рис. 9.27,а) второе уравнение (9.84) с учётом:
принимает вид
откуда
Следовательно,
Аналогично можно получить выражение приведённого модуля для стержней прямоугольного сечения.
Т. Карман не только создал теорию приведённого модуля, но и проверил её тщательно поставленными экспериментами. Опытные значения пределов устойчивости легли между кривыми, рассчитанными по теории приведённого модуля и теории продольного выпучивания сжатых стержней для эксцентриситета прилагаемых сжимающих сил, равно 0,005h где h – толщина прямоугольного поперечного сечения стержня.
Исследования Энгессера, Кармана, Ясинского по созданию теории устойчивости сжатых стержней за пределом упругости оставили глубокий след в истории её развития.