- •Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем
- •5. Метод Койтера исследования нелинейного послебифуркационного процесса выпучивания (нагружения). Пусть реакция в упругой пружине (рис. 9.13):
- •Гибкость стержня,
- •Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями
- •Пределы применимости формулы Эйлера
- •Практический инженерный метод расчёта на устойчивость ф. Ясинского
- •Задача Энгессера об устойчивости сжатого стержня из нелинейно - упругого материала
- •Устойчивость стержня в процессе нагружения за пределом упругости. Концепция Шенли
- •Выпучивание сжатой колонны при внецентренном сжатии
- •Задача а.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого стержня в условиях ограниченной ползучести
- •Расчет сжато-изогнутого стержня по дефомированному состоянию
- •Вопросы для самопроверки
Пределы применимости формулы Эйлера
Формулы Эйлера (9.33), (9.34) получены в предположении упругого поведения материала, т.е. при условии:
(9.45)
где - предел пропорциональности.
При из (9.45) получаем предельное значение гибкости:
(9.46)
разделяющей области упругой и неупругой потерь устойчивости стержня. Для малоуглеродистой стали ,получаем:
.
Для алюминиевого сплава Д16Т (дюраль) , находим:
На практике часто элементы конструкций оказываются недостаточно гибкими и . В этих случаях формула Эйлера даёт неверные, завышенные, результаты. Впервые это обнаружил Ходкинсон (Англия) в своих опытах по продольному изгибу сжатых колонн в 1840г. Формула Эйлера подтверждалась для гибких стержней и обнаруживала значительные отклонения для коротких стержней.
Е. Ламарль (Бельгия) в 1845г. первым установил границу применимости формулы Эйлера. Он предложил для стержней малой гибкости принять критическое напряжение , равным пределу текучести В дальнейшем теория устойчивости Эйлера подверглась проверке в опытах И. Боушингера (1887г.), Л. Тетмайера и М. Консидера (1890-1896гг.)
В 1889г. Ф. Энгессер (Германия) предложил вычислить критическое напряжение по формуле Эйлера с заменой модуля упругости на касательный модуль ,
(9.47)
Напряжение, вычисляемое по формуле (9.47), называют критическим касательно-модульным напряжением Ф. Энгессера. Соответствующая формула для касательно-модульной нагрузки имеет вид:
(9.48)
Для построения диаграммы критических напряжений формулу (9.48) следует записать в виде:
(9.49)
Обрабатывая диаграмму сжатия , можно найти зависимость . Тогда для каждого правая часть в (9.49) вычисляется и поэтому становится известной гибкость .
На рис. 9.20 представлены диаграммы сжатия и критических напряжений.
а) б)
Рис. 9.20
В 1895г. Л. Тетмайер и Ф. Ясинский на основе анализа экспериментальных данных предложили для вычисления критических напряжений эмпирическую линейную формулу
(9.50)
где - наибольшее значение гибкости для которой ещё можно считать
Полагая в (9.50) и получаем:
откуда находим формулу для выражения коэффициентов:
(9.51)
На основании (9.51) ниже составлена таблица значений коэффициентов для некоторых материалов.
Таблица 9.1. Таблица значений коэффициентов для некоторых материалов
Материал |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталь мало- углеродистая |
2 |
200 |
240 |
- |
100 |
40 |
266,7 |
2/3 |
Сплав Д16Т (дюраль) |
0,75
|
200
|
-
|
400
|
62 |
0 |
400
|
3,33
|
Сталь 30ХГСА (хромансил) |
2,1 |
750 |
- |
1100 |
52,6 |
0 |
1100 |
6,65 |
Сталь 45 |
2 |
260 |
300 |
- |
87 |
30 |
321 |
0,7 |
Дерево (сосна) |
0,1
|
10
|
-
|
20
|
70
|
0
|
30
|
0,2
|
Джонсон для материалов с площадкой текучести предложил для критического напряжения параболическую формулу:
(9.52)
Постоянные А, В определяются из условий при при Используя эти условия, находим:
После подстановки этих значений А, В в (9.52) получаем:
(9.53)
Как видно, для построения диаграммы критических напряжений достаточно знать всего две механические характеристики материала .
Формулу (9.53) можно записать в виде
(9.54)
где
(9.55)
эмпирический модуль Джонсона. Для его вычисления необходимо знать лишь и . Формула (9.54) записана в форме (9.47). Поэтому на модуль (9.55) можно смотреть как на приближённую аппроксимацию касательного модуля