1.2.2. Обратная задача.

Пусть в дискретные моменты измерены смешанные стратегии игроков , и выигрыш И1 .

Построим алгоритм оценивания элементов матрицы в рекуррентной форме.

Уравнение измерений для произвольного (k-го) наблюдения, с учетом (1), примет вид:

, (2)

откуда невязка

, (3)

где - случайная составляющая (невязка), обусловленная как неточностью измерений, так и степенью соответствия модели игры (матрицы А) реальной ситуации на рынке.

Для оценки элементов матрицы А воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК критерий оптимальности оценок можно представить в следующем виде:

, (4)

где N – число наблюдений в выборке.

Приведем уравнение (2) к матричной форме. Для этого пред­ставим скаляр , или, что то же самое, в несколько ином виде - переформируем матрицу А в вектор , для чего обозначим:

, (5)

где вектор - это -й столбец матрицы , тогда для всех :

. (6)

С учетом этих обозначений выразим 1-е слагаемое в (2):

. (7)

Здесь

, (8)

где - i-й компонент вектора , ,

.

С учетом этих обозначений выигрыш на k-ом шаге (уравнение измерений (2)) примет вид:

. (9)

Для N шагов эти уравнения можно представить в векторной форме следующим образом:

, (10)

или, иначе:

. (11)

Отсюда сумму квадратов отклонений (невязок) можно представить в таком виде:

. (12)

Тогда критерий оптимальности оценок, аналогичный (4), но построенный для новой формы ЦФ (12), можно представить в следующем виде:

, (13)

Далее в соответствии с алгоритмом построения МНК-оценок по совокупности N измерений вектор платежей примет вид:

, (14)

где нижний индекс отражает количество измерений, по которым вы­полняется оценивание, а «крышка» над означает, что вычислена оценка вектора платежей, а не истинные их значения.

Обозначим:

. (15)

Представим алгоритм оценивания (14), (15) в рекуррентной форме:

, (16)

. (17)

Алгоритм (16), (17) позволяет ЛПР накапливать положи­тельный опыт принятия решений путем подстройки (уточнения) элементов платеж­ной матрицы по мере появления новых наблюдений. А полученные на основе этой матрицы решения (стратегия ) путем решения прямой АМИ будут основаны на этом опыте и обеспечат достижения желаемой конкурентоспособности выпускаемой продукции.

Пример. Рассмотрим случай, когда АМИ размерности mxn = 2х2:

Для нахождения решения прямой АМИ, т.е. , и цены игры можно свести АМИ к паре задач линейного программирования (ЗЛП) – прямой и двойственной. Тогда прямая задача примет вид:

Решив эту задачу, получим и решение для И1:

Двойственная задача примет вид:

Решив эту задачу, получим и решение для И2:

Для упрощения расчетов при решении обратной задачи элементы формул (16) и (17) для АМИ 2х2 (индексы номера шага опустим):

Введем обозначения:

;

С учетом этого после преобразований формулы (16) по компонентам векторов можно представить в таком виде:

где номер итерации показан в скобках, i - номер компонента вектора;

, где

Формулу (17) можно представить в таком виде:

где компоненты вектора можно представить в таком виде:

.

Приведенные соотношения позволяют вычислить все компоненты векторов и матриц для обратной задачи по текущим измерениям и затем прямой задачи по полученным оценкам матрицы АМИ не только 2х2, но и произвольной размерности.