Определитель третьего порядка

Определитель третьего порядка:

, – элементы определителя .

Следует запомнить, что элементы образуют главную диагональ определителя, элементы составляют его побочную диагональ.

Вычисление определителя третьего порядка.

1. Вычисление определителя третьего порядка по правилу треугольников

Рис. 1 Рис. 2

Данное правило заключается в том, что первые три слагаемые в правой части равенства вычисляются так, как это показано на Рис. 1, они представляют собой произведения элементов, стоящих на главной диагонали и вершинах двух треугольников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали. Остальные три слагаемых правой части равенства вычисляются аналогично (Рис. 2), только за основу взята побочная диагональ. Причем эти слагаемые берутся с обратным знаком.

Определение: Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

- минор данного элемента определителя третьего порядка.

Определение: Алгебраическое дополнение данного элемента – это минор, взятый со знаком «плюс», если сумма - четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. - алгебраическое дополнение данного элемента определителя третьего порядка. .

Замечание.

Здесь означает номер строки, а - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Пример 2. Дана матрица . Найти .

Решение

Минор , соответствующий элементу , есть определитель . Он получается, если вычеркнуть из данного определителя третьего порядка третью строку и первый столбец.

По формуле (14) находим алгебраическое дополнение для элемента .

2. Разложение определителя по элементам строки (или столбца).

- разложение определителя по элементам первой строки.

Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Замечание.

Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего и более высокого порядка.

Определители высших порядков

Определитель n – го порядка. .

- разложение определителя n – го порядка по элементам первой строки.

Замечание.

Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения данного элемента.

Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка .

1. по правилу треугольников

2. используя разложение по элементам строки (или столбца)

3. используя разложение по элементам строки (или столбца), с предварительным образованием нулей.

Решение

1. Вычисляем определитель по правилу треугольников, используя формулу (2).

2. Разложим определитель по элементам первой строки, используя формулу (3)

3. Используя свойство (8), можно значительно упростить вычисление определителя, получая нули в некотором столбце или строке.

Умножая третью строку на (- 4) и складывая ее со второй, а умножая третью строку на (- 2) и складывая ее с первой, получим

. Вычислим этот определитель, разлагая его по элементам второго столбца (т. к. из трех элементов – два нуля): . Согласно свойству (3) , из первого столбца выносим (-1), а из второго (-5), получаем .