I. Линейная алгебра Лекция № 1. § 1. Матрицы.

Определение: Матрица – это прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов.

.

Сокращенная запись матрицы А: или , где - номер строки, - номер столбца, m– число строк матрицы, n – число ее столбцов. Числа m и n называются размерностями матрицы. Матрицу А называют матрицей размерности .

Величины, из которых состоит эта таблица, называются элементами матрицы и обозначаются той же буквой, только строчной, что и матрица, с указанием номера строки (первый индекс) и номера столбца (второй индекс).

Матрицы одинакового размера равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

- квадратная матрица.

Квадратную матрицу размера называют матрицей n – го порядка.

Определение: Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называют главной диагональю, а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.

Определение: Две матрицы считаются равными, если размеры матриц (число строк и столбцов) одинаковы и равны элементы, лежащие на пересечении соответствующих строк и столбцов, то есть когда при любых i, j.

Определение: Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

- диагональная матрица.

Определение: Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной.

- единичная матрица.

Определение: Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

- треугольная матрица.

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

- нулевая матрица.

Определение: Матрица-строка (матрица-столбец) - матрица состоящая только из одной строки (столбца):

- матрица – строка.

- матрица – столбец.

Определение: Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.

- транспонированная матрица к данной.

Линейные операции над матрицами. Сложение матриц

Определение Суммой двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма соответствующих элементов матриц.

Пусть и . Тогда , где , , .

Для обозначения суммы двух матриц используется запись .

Следует запомнить, что операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пример 1.

Пример 2.

Справедливы следующие свойства сложения матриц:

1. (коммутативный закон)

2. (ассоциативный закон)

3. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу , здесь О – нулевая матрица

4. , (-А) – матрица, противоположная матрице А

Замечание.

Указанные свойства справедливы для любых матриц А, В, С одинаковых размеров.