Примеры решения типовых задач
Пример
1. Найти сумму
ряда
.
Решение. Составим частичную сумму:
.
Пример
2. Найти сумму
ряда
Решение. Составим последовательность частичных сумм:
,
,
,
тогда,
если
,
то
.
Следовательно,
.
Пример
3. Найти сумму
ряда
.
Решение. Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:
;
………………
;
Пример
4. Исследовать
на сходимость ряд
Решение.
Проверим выполнение необходимого
условия
.
Необходимое условие выполняется, однако,
это не означает, что ряд сходится.
Исследуем на сходимость с помощью
достаточных признаков. Этот ряд можно
исследовать на сходимость с помощью
признака сравнения. Сравним исследуемый
ряд с гармоническим рядом
.
Начиная с
члены нашего ряда больше соответствующих
членов гармонического ряда
так
как при
,
.
Гармонический ряд расходится,
следовательно, расходится и ряд
Пример
5. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
при
.
Ряд
– обобщенный гармонический ряд с
показателем
сходится. Значит, данный ряд
,
члены которого эквивалентны членам
обобщенного гармонического ряда,
сходится.
Пример
6. Исследовать
на сходимость ряд
Решение. Используем признак Даламбера. Имеем :
Следовательно, исследуемый ряд сходится.
Пример
7. Исследовать
на сходимость ряд
Решение.
Здесь удобно применить признак Коши.
Следовательно, ряд
расходится.
Пример
8. Исследовать
на сходимость ряд
Решение.
Воспользуемся
предельным признаком сравнения. Вместо
ряда
можно исследовать на сходимость более
простой ряд
,
так как
Применим интегральный признак сходимости
ряда. Вычислим несобственный интеграл
от функции
,
удовлетворяющей условиям интегрального
признака.
Интеграл расходится, значит будет расходится и ряд.
Задания для самостоятельной работы
n10.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n10.2. Исследовать сходимость ряда с помощью одного из признаков сравнения:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n10.3. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n10.4. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.n10.5. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.
n10.6. Исследовать на сходимость (разные задачи):
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
е)
|
ж)
|
з)
|
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы