10. Числовые и функциональные ряды

10.1. Числовой ряд. Основные понятия. Знакоположительные ряды Краткие теоретические сведения

Пусть имеется числовая последовательность . Составим выражение , которое называют числовым рядом, а числа – членами ряда; n-й член ряда называется так же общим членом ряда.

Определение 1. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается : .

Определение 2. Суммой ряда называется предел последовательности частичных сумм , если он существует и конечен. В этом случае то ряд называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Определение 3. Ряд , полученный из ряда отбрасыванием первых его m членов называется m-м остатком ряда.

Если сумму остатка сходящегося ряда обозначить через , то, очевидно, .

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Отбрасывание ряда, или присоединение к ряду любого конечного числа начальных членов не меняет его сходимости или расходимости.

Теорема 2. Если ряд сходящийся, то .

Теорема 3. Если члены ряда , имеющего сумму S, умножить на число , то полученный ряд будет также сходящимся, а число – его суммой.

Теорема 4. Умножение членов расходящегося ряда на число не нарушит его расходимости.

Теорема 5 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел последовательности его членов равен 0: .

Отсюда следует, что если , то ряд расходится.

Теорема 6 (Критерий Коши). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовало число (зависящее только от ) такое, что для всех и любого натурального k было справедливо неравенство .

Если все члены ряда положительные, то ряд называют знакоположительным.

Приведем основные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признаки сравнения. Пусть имеем 2 знакоположительных ряда:

(1);

(2).

1. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется равенство , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2. Если существует конечный предел , то оба ряда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при );

б) (расходящийся гармонический ряд);

в) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).

Замечание 2. Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквиваленты при ( ), то оба ряда (в смысле сходимости) ведут себя одинаково.

Признак Даламбера. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Коши. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Раабе. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым, т.е. о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Интегральный признак. Если функция непрерывна, неотрицательна и не возрастает при , то ряд сходится или расходятся одновременно с несобственным интегралом .

Признак Бертрана. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Замечание. При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих часто бывает полезна формула Стирлинга .