§ 12. Основы корреляционного анализа

Задачей корреляционного анализа является выявление и измерение линейной связи между случайными величинами. Решение задачи включает в себя также определение формы связи между ними, надежности и доверительных границ параметров уравнений регрессии.

12.1. Линейная корреляция

Если система состоит из двух случайных величин X и Y, связанных линейной зависимостью, ее характеристиками являются:

 начальные моменты = M(X), = M(Y),

 центральные моменты = D(X), =D(Y),

– центральный момент корреляционный момент,

 коэффициент линейной корреляции  показатель силы линейной связи между X и Y.

В статистическом анализе используются их соответствующие выборочные оценки.

Если объем выборки невелик, выборочные моменты определяются по следующим формулам:

 выборочные средние

, ; (12.1)

 выборочные (исправленные) дисперсии

(12.2)

 выборочный корреляционный момент

; (12.3)

 выборочный коэффициент линейной корреляции

. (12.4)

1. Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения; иными словами, при любых a₁, a₂, b₁ и b₂

.

2. Выборочный коэффициент корреляции не превышает единицы, .

3. Если Y = aX + b , то т.е. r_xy =  1.

Чем ближе к единице, тем сильнее связь, тем меньше представлены в ней случайные факторы. При случайные величины связаны линейной функциональной зависимостью.

При большом объеме выборки составляется корреляционная таблица (12.1).

Таблица 12.1

Х	Y				mx
	y1	y2	. . .	yl
x1	m11	m12	. . .	m1l
x2	m21	m22	. . .	m2l
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
xk	mk1	mk2	. . .	mkl
my			. . .		n

В этом случае выборочные моменты вычисляются по формулам:

 выборочные средние

 выборочные дисперсии

 корреляционный момент

 выборочный коэффициент корреляции .

Как всякая выборочная оценка, выборочный коэффициент корреляции является величиной случайной, достоверность (значимость) которой следует проверить с помощью того или иного критерия.

Если система (X,Y ) распределена нормально, то вопрос о значимости коэффициента корреляции решается с помощью случайной величины , распределенной по закону Стьюдента с  = n  2 степенями свободы. Высказывается гипотеза Н_о: Если по абсолютной величине не превышает критического значения , полученного из таблицы t-распределения, то гипотеза H_o принимается. Если , гипотеза отвергается, корреляционная связь между признаками X и Y признается значимой.

При больших объемах выборки n выборочный коэффициент корреляции r_xy распределен асимптотически нормально с параметрами

и .

При доверительной вероятности  интервальная оценка для имеет вид

, (12.5)

где .

12.1. Данные о зависимости между объемом выполненных работ X (тыс.руб.) и накладными расходами Y (тыс.руб.) сведены в таблицу (12.2).

Требуется:

а) найти выборочные средние и дисперсии признаков X и Y ;

б) вычислить выборочный коэффициент корреляции r_xy;

в) проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости = 0,05, считая распределение признаков X и Y нормальным;

г) найти интервальную оценку для коэффициента корреляции при доверительной вероятности  = 0,95.

Таблица 12.2

Y X	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5
15	4	5							9
25	1	3	1						5
35	2	3	6	5	3	1			20
45		5	6	19	8	7	2	1	48
55		1	2	7	16	9	4	2	41
65			1	5	6	4	2	2	20
75							1	6	7
	7	17	16	36	33	21	9	11	150

 Вычислим точечные оценки параметров распределения:

7200 = 48,0 ; 735 = 5,0;

374750  (48,0)² = 194,333, S_x = 13,94;

4233,5  (5,0)² = 3,223, S_y = 1,795;

39087,5  48,05,0 = 20,58;

Рассмотрим нулевую гипотезу Н_о о значимости выборочного коэффициента корреляции. Сначала вычислим эмпирическое значение критерия:

Затем из таблицы распределения Стьюдента (табл. 5 Приложений) получим критическое значение критерия t_кр = t_ для уровня значимости и числа степеней свободы

t_0,05;148 = 1,99.

Как видно, t_эмп > t_ , значит нулевая гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергается, т.е. связь между признаками следует считать существенной.

При доверительной вероятности из табл. 2 Приложений находим . Тогда согласно (12.5) получим интервальную оценку для генерального коэффициента корреляции

0,8221,96 < < 0,822+1,96 ,

или 0,770 < _xy < 0,874 . 

В задачах 12.2 – 12.5 приведены результаты выборочного обследования системы двух случайных величин X и Y. Вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции.

12.2.

X	0,30	0,91	1,50	2,00	2,20	2,62	3,00	3,30
Y	0,20	0,43	0,35	0,52	0,81	0,68	1,15	0,85

12.3.

X	4,1	4,9	10,8	11,2	11,9	10,7	9,9	11,6
Y	51,2	52,4	52,7	51,2	50,6	49,8	49,0	49,3
X	12,0	8,4	10,8	6,5	7,8	9,9	8,7	11,2
Y	50,7	51,4	52,9	49,6	49,4	52,6	51,9	52,4

12.4.

X	20,8	21,0	19,0	16,9	16,8	19,2	20,5	17,1	18,4	20,4
Y	52	73	84	90	75	77	64	58	82	89

12.5.

X	1,05	1,28	1,31	0,80	1,05	1,28	1,35	1,49	1,38	1,57
Y	53,0	53,4	55,4	55,6	56,0	54,5	53,7	52,7	52,0	52,6
X	1,60	1,54	1,27	1,43	1,52	1,59	1,47	1,55	1,60	0,84
Y	53,4	54,7	54,8	55,1	53,5	52,8	52,1	53,3	54,6	55,9

В задачах 12.6 – 12.13 даны эмпирические распределения двумерной случайной величины (X, Y). Требуется: а) найти выборочные средние и дисперсии составляющих системы; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции; в) проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции, считая распределение системы нормальным; г) найти интервальную оценку для истинного коэффициента линейной корреляции.

12.6.

	Y
Х	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85
200 – 300	19	5
300 – 400	23	86	11
400 – 500	1	41	98	9
500 – 600		4	32	65	7
600 – 700		1	4	21	36	3
700 – 800			1	2	11	13	1
800 – 900					1	3	2

12.7.

X	Y
	0	1	2	3	4	5	6
25	2	1
35	2	5	7	1
45		1	4	8	1
55				2	13	3
65					1	5	2
75						2	1
85							1

12.8.

X	Y
	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
210 – 220	1	2	1
220 – 230	1	2	16	2	1
230 – 240		1	5	10	5	1
240 – 250		1	2	8	14	2
250 – 260			1	3	8	2
260 – 270				2	6	3

12.9.

X	Y
	0,02	0,06	0,10	0,14	0,18	0,22	0,26
10 – 20					1	3	2
20 – 30			1	3	4	2
30 – 40		1	3	4	2	1
40 – 50		2	6	4	2
50 – 60	3	5	3	1
60 – 70	4	2	1
70 – 80	4

12.10.

X	Y
	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
12,5						2	5
17,5					2	4	3
22,5				2	3	7	1
27,5			3	11	15	8	2
32,5		1	2	9	4	1
37,5	2	3	5	2
42,5	2	1