МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

§ 10. Основы выборочного метода

10.1. Первичная обработка результатов наблюдений

Математическая статистика оперирует количественными признаками случайных массовых явлений, которые проявляются в виде значений некоторой случайной величины (случайного признака).

Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментального материала составляет предмет математической статистики.

Основными задачами математической статистики являются определение неизвестного закона распределения наблюдаемой случайной величины или систем, статистическая проверка гипотез о параметрах и законах распределения, нахождение оценок параметров распределения.

Конечное или бесконечное множество всех возможных значений случайного признака называется генеральной совокупностью.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой объема n из генеральной совокупности называется последовательность n значений случайной величины Х, полученных в n независимых повторениях эксперимента. Выборка может быть представлена в виде простого перечня значений случайного признака (при малом объеме n) или в виде вариационного ряда – таблицы значений признака и им соответствующих частот

Схема составления вариационного ряда такова:

1. среди всех найти х_наим и х_наиб , вычислить размах вариации R = = x_наиб  х_наим ;

2. выбрать количество разрядов k, руководствуясь условием (обычно k = 8  12) и вычислить шаг ряда

3. разбить промежуток (х_наим , х_наиб ) на k интервалов точками при этом границы разбиения должны быть удобными для дальнейших вычислений;

4. подсчитать количество значений признака, оказавшихся в интервалах т.е. определить частоту m_i попадания случайного признака Х в i – й интервал (или относительную частоту );

5. составить таблицу, в которой каждому интервалу соответствует частота m_i , показывающая, сколько значений случайного признака из выборочной совокупности оказалось в этом интервале; при этом следует заранее решить, какая из границ, левая или правая, принадлежит данному интервалу (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Интервалы значений признака Х	x (0) – x (1)	x (1) – x (2)	. . .	x (k-1) – x (k)
Дискретные значе-ния признака xi	x 1	x 2	. . .	x k
Частоты признака mi	m 1	m 2	. . .	mk
Относительные частоты i	 1	 2	. . .	 k

Интервальный ряд может быть преобразован в дискретный вариационный ряд. Для этого в каждом интервале надо выбрать какое-либо значение x_i (обычно это середина интервала).

Накопленной частотой S_i признака x_i (или соответствующего интервала) называется сумма всех предыдущих частот, включая частоту i-го признака:

Аналогично: накопленная относительная частота

Очевидно, что

Накопленная относительная частота является статистической функцией распределения случайного признака и обозначается

Графической иллюстрацией интервального вариационного ряда является гистограмма (рис. 10.1), дискретного вариационного ряда – полигон (многоугольник) частот (рис. 10.2); графическая иллюстрация накопленной частоты называется кумулятивной кривой (рис. 10.3), график статистической функции распределения показан на рис. 10.4.

П олигон частот по форме аналогичен графику плотности распределения случайной величины в выборочной совокупности.

10.1. По данным 55 наблюдений составить интервальный вариационный ряд, преобразовать его в дискретный ряд, вычислить накопленные частоты и составить статистическую функцию распределения.

17 19 23 18 21 15 16 13 20 18 15 20 14 20 16 14 20 19 15 19 16 19 15 22 21 12 10 21 18 14 14 17 16 13 19 18 20 14 16 20 19 17 18 18 21 17 19 17 13 17 11 18 19 19 17

 Размах вариации R = 24 – 10 = 14; из неравенства k  5 lg55 = = 8,7 определяем, что число разрядов можно принять равным 7. Тогда длина интервала Условимся считать, что каждому интервалу, кроме последнего, принадлежит только левая граница. Результаты группировки и вычислений записаны в таблице (10.2). 

Таблица 10.2

Границы интерва-лов	Середина интерв. хi	Частота признака mi	Накопл. частота Si	Относит. частота  i	Статистич. функц. распр. F(x)
10 – 12	11	2	2	0,0364	0,0364
12 – 14	13	4	6	0,0727	0,1091
14 – 16	15	8	14	0,1455	0,2546
16 – 18	17	12	26	0,2182	0,4728
18 – 20	19	16	42	0,2909	0,7637
20 – 22	21	10	52	0,1818	0,9455
22 – 24	23	3	55	0,0545	1,0000

В задачах 10.2 – 10.4 требуется: 1) составить вариационный ряд; 2) вычислить накопленные частоты и статистическую функцию распределения; 3) построить гистограмму, полигон частот, кумулятивную кривую и график статистической функции распределения.

10.2. Контроль степени износа (в процентах) одинаковых элементов некоторого автоматического устройства за период времени Т дал следующие результаты:

13,4 14,7 15,2 15,1 13,0 8,8 14,0 17,9 15,1 16,5 16,6 14,2 16,3 14,6 11,7 16,4 15,1 17,6 14,1 18,8 11,6 13,9 18,0 12,4 17,2 14,5 16,3 13,7 15,5 16,2 8,4 14,7 15,4 11,3 10,7 16,9 15,8 16,1 12,3 14,0 17,7 14,7 16,2 17,1 10,1 15,8 18,3 17,5 12,7 20,7 13,5 14,0 15,7 21,9 14,3 17,7 15,4 10,9 18,2 17,3 15,2 16,7 17,3 12,1 19,2

10.3. Измерения емкости у 80 полевых транзисторов дали следующие результаты:

1,9 3,1 1,3 0,7 3,2 1,1 2,9 2,7 2,7 4,0 1,7 3,2 0,9 0,8 3,1 1,2 2,6 1,9 2,3 3,2 4,1 1,3 2,4 4,5 2,5 0,9 1,4 1,6 2,2 3,1 1,5 1,1 2,3 4,3 2,1 0,7 1,2 1,5 1,8 2,9 0,8 0,9 1,7 4,1 4,3 2,6 0,9 0,8 1,2 2,1 3,2 2,9 1,1 3,2 4,5 2,1 3,1 5,1 1,1 1,9 0,9 3,1 0,9 3,1 3,3 2,8 2,8 2,5 4,0 4,3 1,1 2,1 3,8 4,6 3,8 2,3 3,9 2,4 4,1 4,2

10.4. Длина североморской камбалы (в см) в возрасте от 10 до 15 лет имеет значения:

48,1 47,8 48,1 49,7 54,1 48,4 48,7 47,4 50,0 48,3

49,9 52,2 52,3 50,3 51,7 44,6 51,5 53,6 51,2 50,1

50,9 48,2 51,3 49,3 48,5 52,6 50,4 49,8 50,5 49,2

45,8 50,2 49,5 47,6 50,5 49,2 47,3 49,1 47,1 47,2

52,1 46,4 51,4 52,4 49,9 48,6 55,6 52,8 54,7 47,6

49,4 49,5 44,0 49,5 52,5 51,8 45,2 48,8 50,8 50,3

51,7 50,8 50,2 51,2 46,8 47,5 50,7 52,4 47,2 49,6

50,1 49,3 47,4 51,2 51,6 49,6 49,3 49,4 52,7 51,1