6. Сложность экстремальных задач

Под сложностью экстремальных задач понимается нижняя граница трудоемкости всевозможных методов, гарантирующих заданную погрешность решения любой задачи класса экстремальных задач. Соответствующие формальные определения таковы.

Пусть - некоторое семейство функций на ; каждую функцию семейства отождествим с «задачей »: . Семейства , для которых все задачи разрешимы, называются классами задач.

Пусть - класс задач. Для и погрешность по функционалу точки в качестве приближенного решения задачи определяется как .

Методом первого порядка решения задач класса называется процедура, работающая по шагам. На первом шаге вычисляются в некоторой точке . На втором – в точке и т.д. Точка может при этом зависеть от накопленной к соответствующему шагу информации . В некоторый момент процедура останавливается и формирует результат своей работы на . Соответствующая стратегия поведения – метод решения задач из - ест набор правил формирования очередных точек , момента остановки и результата в функции от накопленной к соответствующим шагам информации. При этом на составляющие метод правила не налагается никаких ограничений, кроме «физической реализуемости». Правила, применяемые на шаге , имеют в качестве аргументов .

Пусть - метод первого порядка решения задач из . Если , то , решая , либо останавливается после некоторого числа шагов , и в этом случае определен результат применения к , либо не останавливается. В последнем случае считается . Величины , называются соответственно трудоемкостью и погрешностью метода на классе .

Сложностью класса называется функция .

Приведем двусторонние оценки сложности наиболее часто рассматриваемых в теории оптимизации классов задач. Сопоставление этих оценок с оценками трудоемкости тех или иных процедур, решающих соответствующие задачи с заданной погрешностью, позволяет судить о возможностях потенциального улучшения процедур. Ниже - абсолютны постоянные.

Сложность классов гладких многоэкстремальных задач. Пусть - натуральное число и - класс всех раз непрерывно дифференцируемых функций на , равных вне единичного шара с не превосходящими по модулю первыми частными производными до порядка включительно. Сложность описанного класса задач удовлетворяет неравенствам

с некоторыми положительными постоянными . При оказывается . Видно, что многоэкстремальные задачи сколь-нибудь заметной размерности не допускают методов приближенного решения с приемлемыми гарантиями трудоемкости.

Рассмотрим сложность задач выпуклой минимизации большой размерности. Пусть , а - класс всех выпуклых непрерывно-дифференцируемых функций на -мерном евклидовом пространстве , таких, что достигает минимума в шаре с радиусом с центром в 0 и градиент гельдеров с показателем и константой . Для сложности описанного класса задач справедливы неравенства , и .

Рассмотрим сложность задач минимизации сильно выпуклых функций большой размерности. Пусть , а - класс всех непрерывно-дифференцируемых функций на , таких, что сильно выпукла с модулем сильной выпуклости , то есть для любых , и . Если дважды непрерывно дифференцируема, то первое из условий означает, что собственные числа гессиана лежат в отрезке . Для сложности описанного класса задач при любом справедливы неравенства , .

Рассмотрим асимптотику сложности общих выпуклых задач по погрешности. Пусть , - выпуклое компактное тело в , а - класс всех выпуклых задач таких, что и . Пусть далее, в можно указать два подобных с коэффициентом параллелепипеда с соответственно параллельными ребрами, из которых меньший содержится в , а больший содержит (это заведомо можно сделать при ). Тогда сложность класса допускает оценку снизу , . Кроме того, всегда справедлива оценка сложности сверху , .

1 от греческого praxis, родительный падеж praxeös – дело, деятельность, logos – слово, учение.

2 Новожилов В. В. Вопросы развития социалистической экономики, М., 1972; Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М., 1972.

3 Предикат – функция, отображающая значения аргументов в высказывания об этих значениях.

4 от латинского optimum – наилучшее.

5 синонимы – оптимизируемая функция, критериальная функция, функция качества, показатель качества, критерий оптимальности.

6 Партисипативное управление (от английского participation – участие, совместная деятельность), реализует принцип участия в разработке управленческого решения всех заинтересованных подразделений (работников) организации (непосредственных исполнителей, заказчиков, смежников). В современном менеджменте партисипативное управление считается эффективным средством повышения производительности труда, качества принимаемых решений, более успешной их реализации (по затратам, срокам, надежности), улучшения взаимопонимания и «психологического климата» в коллективе.