2. Выбор и оптимум

Под выбором будем понимать задачу, сводящуюся к выделению из заданного тем или иным способом множества одного или нескольких элементов, обладающих некоторым указанным свойством, удовлетворяющих какому-либо определенному критерию, в известном смысле оказывающихся предпочтительными. Формально: - заданное множество, - предикат³, определенный на . Требуется найти такой , что . Практически любая задача поиска объекта, удовлетворяющего требованиям субъекта поиска, может трактоваться как выбор. Таковы, в частности, задачи отыскания решений - не только для моделей, в том числе экономико-математических, но и в менеджменте, в политике, в обыденной жизни. Различия с точки зрения теории заключается в том, что для формализованных или хорошо структурированных задач существует вполне удовлетворительное описание как множества , из которого производится выбор, так и критерия, которому должен удовлетворять выбираемый элемент. На практике же обычно возникают ситуации, требующие принятия решений при неполной информации о множестве и интуитивно сформулированном предикате , т.е. проблема в обыденной жизни решается на основе опыта и сложившихся стереотипов.

Алгоритмизация задачи выбора состоит в том, чтобы для класса множеств и класса предикатов построить алгоритм такой, что для и , определенного на , применение к паре давало или , такой, что (в другой постановке – все такие , что ), или сообщение о том, что такого , для которого , не существует. Проблемы решения задач математического программирования, разнообразных систем уравнений и/или неравенств и т.п., а также сводящихся к ним экономико-математических моделей без труда приводятся к алгоритмизации соответствующей задачи . Обычно рассматриваются задачи о выборе какого-либо одного элемента , удовлетворяющего . В таком случае называется однозначным, а элементы множества – альтернативами. Вместе с тем, в некоторых случаях считают однозначным лишь тогда, когда в находится единственный элемент , для которого . Варианты задачи , предполагающие поиск нескольких, но не всех , удовлетворяющих , легко свести к задаче однозначного .

Приведенная выше простейшая формальная постановка задачи жестко разделяет содержательную проблему на две части:

• формализация содержательной проблемы, т.е. построение множества и предиката , включая сбор и предварительную обработку информации для их количественного представления;

• работа с готовой математической конструкцией, а именно, построение и реализация алгоритма расчетов.

Это разделение может не соответствовать временным этапам, построение алгоритма нередко предшествует информационному обеспечению, а корректировка множества , в свою очередь, может происходить при построении алгоритма.

В плохо структурированных задачах такая схема неосуществима: множество и/или предикат точно описать не удается, полная формализация не достигается, а вместо формального алгоритма приходится использовать неформальную процедуру поиска. При этом в ней вполне могут содержаться отдельные алгоритмизированные элементы для решения частных вычислительных задач. Сама эта процедура может много кратно повторяться не столько в целях поиска как такового, сколько в качестве средства уточнения множества и предиката . Критерий окончания подобного процесса остается субъективным, так как эксперт довольствуется решением, которое представляется ему приемлемым. Испоьзование компьютеров подобных случаях происходит в режиме диалога, но и без компьютера процесс фактически приобретает характер итеративного взаимодействия формализованной и неформализованной подсистем.

Если простейшая формальная постановка задачи приводит к строгим математическим построениям и изучается в своих конкретных вариантах соответствующим разделами математики, то плохо структурированные проблемы - объект теории принятия решений. Совсем другого рода осложнения исходной постановки задачи возникают при обобщении проблемы на случай, когда он оказывается результатом коллективного действия многих субъектов. Такие проблемы изучают теории игр и коллективного выбора.

В задачах выбора оптимум⁴ это результат, наилучшим образом отвечающий поставленной цели. При стандартной трактовке выбора в заданном множестве требуется найти такой или все такие , что , где - предикат, определенный на .

Специфика задач на оптимум проявляется в способе определения предиката . Он задается через функцию цели⁵, определенную на и принимающую действительные значения. Задача оптимального выбора (поиска оптимума) состоит тогда в том, чтобы найти такой , который доставляет функции цели в зависимости от смысла задачи наибольшее (при максимизации) или наименьшее (при минимизации), т.е. оптимальное, значение среди всех . Иными словами, тогда и только тогда, когда при любых выполнено условие в случае максимизации (при минимизации ). Задача оптимизации может трактоваться не только как поиск оптимизирующего элемента в , но и как поиск оптимального значения на , а также верхней грани значений на , т.е. (соответственно, нижней грани ), если на ограничено сверху (соответственно, снизу), но не достигает наибольшего (соответственно, наименьшего) значения.

Стандартная формализация в рамках теории выбора приводит к классической задаче на оптимум, которая опирается на использование полной упорядоченности действительных чисел. Простейший вариант задачи в такой постановке – отыскание наибольшего (наименьшего) значения действительной функции одного или нескольких переменных на замкнутом множестве и соответствующего значения аргумента. При различных способах задания множества и целевой функции , , этот вариант приводит к безусловной и условной оптимизации в дифференциальном исчислении, математическому программированию, различным задачам вариационного исчисления, математической теории оптимальных процессов.

Существенное обобщение классического понятия «оптимум» достигается при переходе от представления цели через оптимизируемую действительную функцию к заданию полезности, или предпочтения. Обычная функция цели – лишь одна из возможных форм описания предпочтения, а именно, количественная, или кардинальная, когда каждому элементу множества, из которого производится оптимальный выбор, ставится в соответствие действительное число. Альтернативная форма – порядковое, или ординальное задание предпочтения, когда для каждой пары (или только некоторых таких пар) элементов множества указывается, какой из них - более предпочтителен, чем другой - (обозначается ). Очевидно, что если определена функция цели – кардинальная функция полезности , то из следует (в случае максимизации), т.е. кардинальная полезность однозначно продуцирует ординальную. Обратное, вообще говоря, неверно и возможно лишь при выполнении ряда дополнительных условий, основное из которых – аксиома непрерывности. Хотя теоретически ординальная полезность охватывает более широкий круг явлений, чем кардинальная, почте все конструктивные разработки по ординальной полезности сводят ее к функции цели, определенной с точностью до положительного преобразования, т.е. ограничиваются частным случаем.

Трактовка задач на оптимум в духе стандартной теории выбора сталкивается с типичными для этой теории трудностями, прежде всего, с необходимостью задавать множество и целевую функцию или предпочтение априорно по отношению к процессу решения задачи. Вместе с тем можно отметить и важные специфические аспекты. А именно, если подходить к понятию «оптимум» с более общих позиций, то выявляются три предпосылки, на которых базируются постановки оптимизационных задач рассмотренного типа. Эти предпосылки весьма стеснительны, зато обеспечивают однозначность дефиниции «оптимум» (благодаря использованию полной упорядоченности множества действительных чисел) и возможность применения эффективного математического аппарата:

• предполагается, что известно точное количественное описание множества и функции цели , ;

• цель оптимизации представляется внутренне однородной, однонаправленной, непротиворечивой, чем и обуславливается реализуемость ее описания в форме целевой функции или ординального предпочтения;

• поиск оптимума рассматривается как задача одного действующего объекта, которому не противостоят и с которым не взаимодействуют другие субъекты, преследующие своим цели.

Очевидно, что реальные социально-экономические проблемы, всевозможные задачи управления организациями и коллективами, а также вопросы обыденной жизни не отвечают какой-либо одной, чаще всего – трем сформулированным предпосылкам. В результате утрачивается твердая основа для строгой дефиниции понятия «оптимум», ясность относительно того, какой из возможных вариантов решения, даже при их полной обозримости, следует считать наилучшим.

Нарушение первой из этих предпосылок означает, что задачу на оптимум приходится решать в условиях неполной информации о множестве и целевой функции , - либо они описаны с непренебрежимыми погрешностями, либо в каких-то частях информация о них совсем отсутствует. Даже в простейших случаях это приводит к необходимости рассматривать вместо одной задачи на оптимум класс таких задач, различающихся значениям исходных данных (поскольку они заданы неточно). Таким образом, в исходной проблеме оптимизации условно можно выделить дополнительный этап: требуется не только найти оптимум в конкретной задаче, но и выбрать такую задачу из некоторого их класса, предварительно или в интерактивной процедуре, объединяющей оба этапа в один цикл. Возникают не только большие сложности вычислительного характера, но и затруднения с дефиницией оптимального решения.

Нарушение второй предпосылки означает, что субъект оптимизации имеет несколько целей и не может свести их к одной (во всяком случае, до начала решения задачи на оптимум). Поэтому их приходится рассматривать как паритетные. Если в отношении каждой из этих целей удается решать вопросы количественного описания в виде функций , то проблема сводится к задаче многокритериальной оптимизации (синоним – векторная оптимизация, полиоптимизация, многоцелевая оптимизация). В таких случаях можно без труда указать необходимые признаки оптимума, не взывающие возражений для большинства задач, но они заведомо не являются достаточными. Проблема дефиниции оптимума, и здесь не находит достаточно общего и убедительного решения, а в каждом конкретном случае оставляется на усмотрение эксперта (именно так обстоит дело во всех диалоговых процедурах многокритериальной оптимизации).

Нарушение третьей предпосылки приводит к задачам, когда субъект оптимизации при выборе решения вынужден считаться с тем, что результат зависит не только от его собственных действий, но и от поведения других субъектов, имеющих иные интересы. Такое положение вещей называется конфликтом и в формально-математических аспектах изучается теорий игр. Модели конфликтов строятся в теории игр прежде всего для выяснения какие решения следует считать оптимальными в условиях конфликта. Однако за исключением антагонистических игр дефиницию оптимум, удовлетворяющую обычным требованиям (существование для всех объектов выделенного класса, равносильность различных решений в случае неединственности, содержательная обоснованность предпосылок, лежащих в основе дефиниции), для наиболее важных классов игровых моделей получить не удалось.

Таким образом, понятие «оптимум» является достаточно строгим лишь для наиболее простых формализованных построений. Между тем распространены попытки оперировать понятиями «оптимум», «оптимальность», «оптимизация» как вполне строгими в случаях, когда для этого нет даже самых элементарных оснований. В итоге понятие «оптимум» мифологизируется, теряет не только научное, но и практическое содержание, что негативно сказывается на развитии экономико-математического моделирования и использовании его результатов на практике.