
- •Теория вероятностей
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
- •Примеры на построение множества ω.
- •Алгебраические операции над событиями
- •Диаграмма Венна.
- •Свойства операций
- •§ 3. Различные подходы к определению вероятности
- •П. 1. Аксиоматическое определение вероятности
- •П. 2. Классическое определение вероятности
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
- •Решение.
- •П. 3. Статистическое определение вероятности
- •§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей
- •Доказательство.
- •Доказательство (методом математической индукции).
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Д оказательство (геометрическое)
- •П.2. Теоремы умножения вероятностей
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)
- •Решение.
- •П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)
- •Решение.
- •§ 6. Последовательность независимых испытаний п. 1. Независимые испытания
- •П. 2. Формулы Бернулли.
- •Решение.
- •Решение.
- •Замечания.
- •Решение.
- •П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Решение.
- •Решение.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Решение.
- •§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения
- •П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения
- •Формы закона распределения дсв.
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
- •Свойства f(X).
- •Доказательство.
- •Графики функции распределения.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Плотность распределения вероятностей нсв
- •Свойства плотности распределения
- •2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
- •Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
- •1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины
- •2. Мода случайной величины
- •3. Медиана случайной величины
- •Пп 2. Моменты
- •Доказательство.
- •И эксцесс
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение
- •Решение.
- •Пп 2. Распределение Пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп 3. Гипергеометрическое распределение
- •Решение.
- •П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности
- •Решение.
- •Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение
- •Решение.
- •Пп 3. Нормальный закон распределения
- •Смысл параметров m и σ
- •Решение.
- •§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
- •П. 2. Законы распределения свдт и свнт
- •Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
- •Решение.
- •Решение.
- •Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
- •Решение.
- •3. Плотность распределения (для свнт)
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Решение.
X (четные) – 2, 4, 6, 8; Y ( нечетные) – 1, 3, 9. Следовательно, возможные значения Х : x1 = 0 (нет четных цифр), x2 = 1 (одна цифра четная), x3 = 2 (обе цифры четные); возможные значения Y : y1 = 0 (нет нечетных цифр), y2 = 1 (одна цифра нечетная), y3 = 2 (обе цифры нечетные). Найдем вероятности.
p11 = (0 четных, 0 нечетных) = 0, не выбираем ни одной цифры, а по условию выбираем две цифры. Аналогично, p12 = p21 = 0 (выбираем всего одну цифру либо нечетную, либо четную), p23 = p32 = 0 (выбираем три цифры вместо двух по условию), p33 = 0 (выбираем четыре цифры вместо двух по условию).
(обе цифры нечетные),
(одна четная, одна нечетная),
(обе цифры четные).
Таблица распределения имеет вид:
xi \ yj |
y1 = 0 |
y2 = 1 |
y3 = 2 |
x1 = 0 |
p11 = 0 |
p12 = 0 |
p13
=
|
x2 = 1 |
p21 = 0 |
p22
=
|
p23 = 0 |
х3 = 2 |
р31 =
|
р32 = 0 |
р33 = 0 |
Проверка:
Пример 2. Дана таблица распределения случайного вектора (X, Y). Получить ряды распределения для X и Y отдельно.
xi \ yj |
2 |
3 |
5 |
1 |
|
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
Решение.
,
(складываем по строкам), следовательно,
xi |
1 |
2 |
pi |
|
|
Проверка:
.
, (складываем по столбцам), следовательно,
yj |
2 |
3 |
5 |
pj |
|
|
|
Проверка:
.
Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
Функция распределения – универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.
Определение 61. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X < x, Y < y, т.е.
F
(x,y)
= Р(X < x,
Y < y).
Геометрически F(x,y) представляет вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (x,y).
F(x,y)
=
–
для СВДТ
Свойства F(x, y).
Условие согласованности:
F(x, +∞) = F1(x), F(+∞, y) = F2(y)
Пояснение. Отодвигая одну из границ квадранта в бесконечность, получаем полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной случайной величины.
F(+∞, +∞) = 1
Пояснение. Квадрант обращается во всю координатную плоскость, попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.
F(–∞, y) = F(х, –∞) = F(–∞, –∞) = 0
Пояснение. Отодвигая ту или иную границу квадранта в (–∞), убеждаемся, что вероятность случайной точки попасть в квадрант равна нулю.
F(x, y) – неубывающая функция по каждому аргументу.
если х2 > x1,
если y2 > y1.
Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:
Определение 62. (второе определение) Двумерный случайный вектор называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если его функция распределения непрерывна на всей плоскости и существует неотрицательная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по x, y функция f(x, y), называемая плотностью распределения СВНТ.
Пример 3. В примере № 1 п.2 найти функцию распределения, если случайный вектор задан таблицей распределения:
xi \ yj |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
2 |
|
0 |
0 |