4. Определение количественных значений показателей надёжности

4.1. Сбор исходной информации

Надёжность и долговечность технических объектов обычно определяют на основании данных об отказах, полученных при их эксплуатации. Лишь в некоторых случаях для этого проводятся ускоренные испытания в заводских или лабораторных условиях.

Метод определения надёжности и долговечности изделий по эксплуатационным показателям имеет ряд недостатков. Современные технические объекты состоят из деталей и узлов, имеющих, как правило, большие сроки службы. Поэтому накопление достаточного статистического материала для анализа возможно только после продолжительного времени эксплуатации. Так как конструкции изделий непрерывно изменяются, то получаемые с большим запозданием результаты обработки статистических материалов за прошедшие годы оказываются устаревшими.

Несмотря на сказанное, сведения об эксплуатации очень важны. Известно, что технические изделия имеют своих «предшественников», у которых заимствованы принципы работы, удачные конструктивные решения, использованы оправдавшие себя в эксплуатации узлы и детали. Поэтому создать новое совершенное изделие можно только на основании полных данных о достоинствах и недостатках более ранних подобных изделиях.

В общем случае главные цели получения исходной информации об объекте сводятся к следующему:

-определению законов распределения случайных значений времени безотказной работы, восстановления работоспособного состояния и ресурсов до капитального ремонта;

- выявлению наиболее ненадёжных элементов;

- изучению влияния условий эксплуатации на показатели надёжности.

Получение необходимых исходных данных о надёжности эксплуатирующегося объекта возможно либо из нормативной документации, ведущейся на предприятии, либо путём проведения специальных наблюдений. Специальные наблюдения дают более точные данные, но связаны с большими трудозатратами.

На практике собранный статистический материал по большей части представляет собой некоторую выборку из генеральной совокупности. При этом под генеральной совокупностью понимается вся возможная информация об однотипных работающих объектах с момента начала их производства.

Соответственно результат по выборке характеризует показатели надёжности объекта лишь с некоторой точностью, которая подлежит оценке.

4.2. Обработка статистического материала

Результаты наблюдений за отказами технического изделия и его элементов в том виде как они получены, представляют собой ряд неупорядоченных чисел. На первом этапе добытые данные следует разместить в порядке увеличения значений показателя, то есть образовать так называемый вариационный ряд.

При больших объёмах выборки (обычно, если n >30) значения, которые наблюдаются в вариационном ряду от t₁ до t_n, разбивают на интервалы и образуют интервальный ряд.

Примерную величину интервала ∆ I рекомендуется находить согласно со следующей формулой Старджесса:

(46)

где t_max, t_min – соответственно максимальное и минимальное значения исследуемой случайной величины.

Значение, которое получено в результате вычисления округляется до ближайшего целого числа. При этом количество интервалов составит

.

(47)

После установления границ интервалов подсчитывается число значений n_i изучаемого признака, попавшего в каждый интервал, которое далее рассматривается в качестве случайной величины.

Далее, для использования в последующих практических расчетах, вычисляются главные числовые статистические характеристики интервального ряда математическое ожидание (статистическое среднее) m_t и дисперсию D_t согласно следующим формулам:

,

(48)

,

(49)

где n_i / n - частота появления признака (аналог вероятности); – значение середины интервала; k – количество интервалов.

Одновременно по формулам (25, 26) находятся среднеквадратичное отклонение σ_t и коэффициент вариации ν_t.

Наглядно судить о распределении СВ удобно по гистограмме, которая является графическим изображением интервального статистического ряда. Для получения гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы ∆I и на каждом из них строятся прямоугольники высотой h_i, равной эмпирической плотности вероятности

hi = ni / (n · ∆I).

(50)

Таким образом площадь каждого прямоугольника оказывается равной частоте появления СВ в данном интервале.

На гистограмме точки, которые являются серединами верхних сторон прямоугольников, соединяют между собой плавной кривой. Внешний вид кривой даёт возможность выдвинуть предположение о принадлежности этой совокупности СВ соответствующему теоретическому закону распределения. Удобным показателем для ориентировочной оценки теоретического закона распределения есть коэффициент вариации ν =σ_t/ m_t.

Так, если коэффициент вариации лежит в пределах 0 < ν < 0,33, то распределение подчиняется нормальному закону, если же 0,8 < ν < 1,0 , то распределение близко к экспоненциальному закону.

Пример 11

Требуется найти статистические характеристики надежности газовой турбины по собранным значениям времени между соседними отказами t_i. Всего имеется информация о n = 300 отказов, среди которых минимальная наработка составляет

t_min = 1 день, а максимальная - t_max = 400 дней.

Весь диапазон значений времени между отказами представим в виде статистического ряда из k интервалов продолжительностью ΔI, которая находится согласно:

.С округлением принимаем .

Для каждого интервала подсчитываются n_i – число значений попавших в интервал; n_i/n – статистическая вероятность; Σn_i/n – накопленная вероятность; n_i/ – эмпирическая плотность вероятности, день^-1. Результаты подсчетов занесены в табл.5.

По полученным данным определим статистические оценки математического ожидания , дисперсии и среднеквадратичного отклонения случайных значений времени между отказами:

.

.

.

Таблица5
	ΔI	ni	ni/n	Σni/n	ni/(n·ΔI)
20	0-40	128	0,428	0,427	0,0107
60	40-80	70	0,233	0,661	0,0058
100	80-120	36	0,120	0,781	0,0030
140	120-160	22	0,073	0,854	0,0018
180	160-200	14	0,046	0,900	0,0011
220	200-240	9	0,030	0,930	0,0008
260	240-280	7	0,023	0,953	0,0006
300	280-320	6	0,020	0,973	0,0005
340	320-360	5	0,017	0,99	0,0004
380	360-400	3	0,01	1,00	0,0003

Теперь построим гистограмму распределения вероятностей, отложив по оси ординат эмпирическую плотность вероятности n_i / ( ΔI), а по оси абсцисс интервалы времени ΔI. При этом получим ряд прямоугольников, площадь каждого из которых S_i равна соответствующей вероятности .

Рис. 10. Гистограмма и экспоненциальная кривая.

Вид гистограммы (рис 10), а также условие однозначно указывают на то, что распределение случайных значений времени t_i подчиняется экспоненциальному закону:

.

После подстановки имеем функцию .

На гистограмме приведена экспоненциальная кривая, построенная по расчетным точкам табл. 6.

Таблица6
t, дней	0	40	80	120	160	200	240	280	320
f(t)	0,0121	0,0075	0,0046	0,0028	0,0018	0,0011	0,0007	0,0004	0,00025
pi	-	0,384	0,236	0,145	0,09	0,055	0,034	0,021	0,013

Площадь под кривой характеризует вероятность наступления отказа газовой турбины в любом заданном промежутке времени. К примеру, вероятность отказа газовой турбины в период между 40 и 120 днем ее работы находится следующим образом:

Интегральная функция экспоненциального закона распределения имеет вид:

.

Эта функция представлена графиком, построенным по расчётным значениям табл.7.

Таблица 7
t	0	40	80	120	160	200
F(t)	0	0,38	0,62	0,76	0,81	0,92

Рис.11. Интегральная экспоненциальная кривая.

Здесь вероятность отказа газовой турбины определяется приращением функции на заданном промежутке времени. К примеру, вероятность отказа газовой турбины в период между 80 и 160 днем эксплуатации составит .

Пример 12

При наблюдении за эксплуатацией однотипных вентиляторов было зарегистрировано 56 отказов при t_min=5 дней и t_max=490 дней. Для представления данных в виде статистического ряда весь диапазон от 5 до 490 разобьем на интервалы с шагом:

дней. С округлением примем .

Результаты подсчета числа отказов , попавших в каждый интервал ∆I, статистических вероятностей и эмпирических вероятностей заносим в табл. 8.

Таблица 8
	I, дней	ni			0,000037· ·( )2	f(t)
40	5-80	5	0,0893	0,00112	1,48	0,0008
120	80-160	9	0,161	0,002	0,53	0,0021
200	160-240	16	0,286	0,00357	0,06	0,0033
280	240-320	12	0,21	0,00262	0,06	0,0033
360	320-400	8	0,14	0,00175	0,53	0,0021
445	400-490	6	0,11	0,00137	1,48	0,0008

По этим данным найдем математическое ожидание, дисперсию и средне- квадратичное отклонение:

дня.

дней².

дней.

Теперь в системе координат «время t – эмпирическая вероятность » построим гистограмму распределения вероятностей (рис.12). При этом получим прямоугольники, площадь каждого из которых равна соответствующей статистической вероятности .

Рис. 12. Гистограмма и нормальная кривая распределения вероятностей.

Вид полученной гистограммы указывает на нормальный закон распределения, который для найденных значений математического ожидания (наработки на отказ) и дисперсии запишется так

По значениям , вычисленных для середины интервалов и приведенных в табл.9. строится кривая распределения. Площадь под кривой равная единице характеризует вероятность отказа вентилятора в любом промежутке времени.

Интегральная функция нормального закона распределения имеет вид:

, где - табличный интеграл Лапласа – Гаусса при

.

Вычисления значений для середины интервалов приведены в табл.9 и представлены на рис.13.

Таблица 9
	Z	Ф(Z)	F(t)
40	-1,74	-0,36	0,06
120	-1,04	-0,177	0,24
200	-0,35	0,06	0,48
280	0,35	0,28	0,7
360	1,04	0,42	0,84
440	1,04	0,48	0,9

Рис. 13. Интегральная кривая нормального закона распределения.

При таком интегральном представлении результатов необходимые оценки вероятности отказа вентилятора находятся по соответствующим отсчетам оси ординат.