2. Вероятностные основы теории надёжности

2.1. Термины и определения

Физический процесс, в ходе которого осуществляется событие, называется опытом. Всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта называется событием.

Событие, которое в определённых условиях опыта происходит обязательно, называется достоверным; не может произойти – невозможным; может произойти, но может и не произойти – случайным.

Количественной мерой степени возможности появления события является его вероятность. Вероятность достоверного события принята равной «1», а невозможного - «0». Соответственно вероятность случайного события оценивается в пределах 0 < P < 1.

В результате опыта возможно осуществление разных случайных событий.

Если в данном опыте появление события А исключает возможность появления события В, то такие события называются несовместными. Если в данном опыте при осуществлении события А возможно событие В, то такие события называются совместными.

Если вероятность осуществления одного события в опыте не зависит от того, осуществилось или нет другое событие, то такие события называются независимыми. В противном случае события называются зависимыми. Вероятность осуществления зависимого события А при условии, что произошло событие В обозначается Р(А/В) и называется условной вероятностью события А.

События в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. В опытах, где события образуют полную группу несовместных событий, вероятность некоторого события В оценивают по относительной доле возможных случаев его появления

Р(В) = Б / N,

(2)

где Р(В) – вероятность события В; N – общее число случаев; Б – число случаев появления события В.

Например: В урне 10 шаров, из них 3 чёрных и 7 белых. Какова вероятность появления чёрного шара? Событию появления чёрного шара благоприятствует три случая при общем возможном числе случаев 10. Следовательно Р(ч.ш.)=3:10=0,3.

В отличие от рассмотренной математической вероятности, когда необходимые исходные данные заранее известны, вводится понятие статистической вероятности.

Статистической вероятностью в данной серии опытов называется отношение числа опытов m, в которых появилось это событие В, к общему числу произведенных опытов n

р(В)=m / n.

(3)

Статистическая вероятность носит случайный характер, но приближается по значению к математической вероятности при увеличении количества опытов.

Например: При вынимании из урны, где находится неизвестное количество чёрных и белых шаров, отмечают цвет шара и возвращают его назад. Шары перемешивают и вновь вынимают шар и т.д. Вполне может оказаться, что в серии из 10 опытов чёрный шар появится, к примеру, 9 раз или 1 раз. Соответственно статистическая вероятность составит р =9 :10= 0,9 или р= 1: 10= 0,1.

Если увеличить число опытов в серии допустим до 1000, то статистическая вероятность начнёт приближаться к математической Р = 0,3.

2.2. Сложение и умножение вероятностей

При расчётах надёжности различных объектов часто используются теоремы, которые формируют способы определения вероятностей суммы и произведения событий.

Сложения событий. Суммой событий А1,А2 ……Аn называется сложное событие, состоящее в том, что осуществляется хотя бы одно из событий или А1 или А2 или Аn.

(4)

Если событие А₁ есть попадание точки в область А₁, событие А₂ попадание область А₂ и событие А₃ попадание в область А3, то событие А1 + А2 + А3 = А есть попадание точки в любое место зачернённой зоны (рис. 3).

Рис. 3. Графическая иллюстрация сложения и умножения событий

Произведение событий. Это сложное событие состоящее в том, что происходит событие и А₁ и А2 и Аn, т.е. все события осуществляются одновременно

(5)

Здесь событие А есть попадание точки в заштрихованную зону, общую для всех трёх областей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы n несовместных событий А_і равна сумме вероятностей этих событий

(6)

Эта теорема имеет два следствия.

Следствие 1. Если события А1,А2 ,….Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

(7)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий, поскольку они образуют полную группу несовместных событий, равна единице.

Р(А) + Р(Ã)= 1

(8)

Вероятность суммы двух совместных событий А₁ и А₂ определяется по формуле

Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1·А2),

(9)

а трёх совместных событий

Р(А1 + А2 + А3) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) – – Р (А1·А2 ) – Р(А1·А3) – Р(А2·А3) + Р(А1·А2·А3)

(10)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения n независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(11)

Если события n зависимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленного при условии, что первое имело место. В частности для двух и трёх зависимых событий можно записать

Р(А1·А2 ) = Р(А1) · Р(А2/А1),	(12)
Р(А1·А2·А3) = Р(А1) · Р(А2/А1) · Р(А3/А1А2),	(13)

где Р(А₂/А₁) и Р(А₃/А₁·А₂ ), – условные вероятности зависимых событий, вычисленные при условии, что произошли все предшествующие события.

Пример 1

Требуется определить вероятность отказа газотурбинной установки за время работы t, если известны вероятности независимых отказов трех ее элементов: компрессора g(t)₁=0,05; камеры сгорания g(t)₂=0,09 и турбины g(t)₃=0,08.

Газотурбинная установка откажет, если откажет или компрессор, или камера сгорания, или турбина, или совместно. Словесная формировка «или - или» указывает на необходимость использования теоремы сложения вероятностей. Для вероятности суммы трех совместных событий имеем:

Решение может быть получено и с использованием теоремы умножения вероятностей для независимых событий, исходя из того, что событие «безотказная работа» противоположено событию «отказ», т.е. .

Газотурбинная установка будет работать в течении времени t безотказно, если безотказно будет работать и камера сгорания, и турбина, и компрессор. Словесная формулировка с «и - и» указывает на необходимость использования теоремы умножения вероятностей. Для вероятности произведения трех независимых событий имеем:

Отсюда вероятность отказа газотурбинной установки:

, что совпадает с решением, полученным через теорему сложения вероятностей.

Из сопоставления двух способов решения задачи видна предпочтительность использования теоремы умножения вероятностей, что приводит к более простым вычислениям

Пример 2

Рассмотрим паросиловую установку (рис 4) как систему, которая состоит из четырёх последовательно соединенных элементов:

питательного насоса (1), котла (2), турбины(3) и конденсатора (4).

Требуется определить вероятность отказа паросиловой установки за время t, если вероятности независимых отказов ее элементов за это время составляют:

g₁(t)=0,03; g₂(t)=0,08; g₃(t)=0,1; g₄(t)=0,02.

Рис. 4. Схема паросиловой установки

Для упрощения нахождения ответа целесообразно использовать теорему умножения вероятностей исисходя из словесной формулы: «паросиловая установка будет работать безотказно, если безотказно будет работать и насос, и котел, и турбина, и конденсатор».

Вероятности безотказной работы элементов системы за время t находятся следующим образом: ; ; ; .

Отсюда вероятность безотказной работы паросиловой установки за время t согласно c теоремой умножения вероятностей составит:

.

Соответственно искомая вероятность отказа паросиловой установки за время работы t будет равна

.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂,… Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Таким образом, событие А может произойти только в комбинации с одним из событий Н_i

А = Н1·А + Н2 А + …Нn·А

(14)

Поскольку комбинации Н₁А, Н₂А….Н_nА несовместны, то применив к ним теорему сложения вероятностей, получим

(15)

Применив далее к событию Н_i·А теорему умножения для зависимых событий, получим формулу полной вероятности:

(16)

Пример 3

Оценить надежность функционирования технической системы из двух несовместно работающих элементов «двигатель-стартер». Относительное время работы стартера 5% при вероятности отказа за время t g_ст(t)=0,04, а двигателя – 95% при вероятности отказа g_дв(t)=0,02.

Событие работа стартера H₁ и работа двигателя H₂ образуют полную группу несовместных событий, вероятности наступления которых составляют:

P(H₁)= =0,05; P(H₂)= =0,95.

Событие А отказа двигателя или стартера может произойти только совместно с событием H₁ или H₂ нахождения их в работе, что соответствует форме записи условной вероятности:

P(A/H₁)=0,04; P(A/H₂)=0,02.

Для определения вероятности появления отказа системы по причине отказа двигателя или стартера воспользуемся формулой полной вероятности

В случае необходимости можно найти вероятность противоположного события (Ā) – непоявления отказа

P(Ā)=1– P(А)=1 – 0,021= 0,979.

Пример 4

На протяжении года ТЭЦ последовательно работает на трех режимах: пиковом - отопительном, смешанном тепло-электрогенерирующем и исключительно электрогенерирующем. В среднем эти режимы характеризуются следующими продолжительностями: тепловой – 2 месяца (H₁); смешанный – 6 месяцев (H₂); электрогенерирующий – 4 месяца (H₃).

Требуется определить вероятность отказа ТЭЦ в течение года P(A), если известны вероятности отказов при каждом режиме работы в отдельности за этот же период времени (событие A):

P(A/H₁)=0,1; P(A/H₂)=0,11; P(A/H₃)=0,09.

Определим вероятность нахождения ТЭЦ в одном из трёх режимов работы в каждый данный момент времени:

Поскольку события H образуют полную группу несовместных событий, то согласно формулы полной вероятности найдем искомую вероятность отказа ТЭЦ в течение года.

Соответственно вероятность безотказной работы ТЭЦ в течение года составит:

2.3. Распределение случайных величин

Важным в теории надёжности является понятие случайной величины (СВ), т.е. величины, которая в опытах может принимать то или иное неизвестное заранее значение. Для СВ, которые могут быть дискретными или непрерывными, важно знать закон их распределения. Закон распределения это соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.

Универсальной характеристикой дискретных и непрерывных СВ является функция распределения, называемая также интегральным законом распределения. Для дискретных СВ функция интегрального распределения имеет вид

,

(17)

где x_i < x указывает на то, что суммирование распространяется на все те значения, которые меньше x.

Когда текущая переменная x проходит через какое-нибудь из возможных значений дискретной СВ, функция F(x) меняется скачкообразно (рис.5а), а величина скачка соответствует вероятности Р(X = x_i). Сумма всех возможных скачков функции F(x) равна единице.

Рис.5. Характерный вид интегральных функций распределения СВ а) дискретной, б) непрерывной

Для непрерывных СВ нельзя перечислить все её возможные значения, поэтому для количественной характеристики пользуются не вероятностью события X = x_i , а вероятностью события X < x_і. Соответственно функция распределения записывается следующим образом

F(x)=P(X < xі),

(18)

а график функции имеет вид кривой, представленной на рис.5, б.

Здесь, к примеру, вероятность попадания СВ на участок α – ß равна приращению функции на этом участке F(ß) – F(α).

Для непрерывных СВ наряду с интегральной используется также дифференциальная функция распределения величины x, представляющая собой производную f(x) = F'(x).

График дифференциальной функции называется кривой распределения (рис.6).

Рис.6. Примерный вид кривой распределения

Интеграл в бесконечных пределах, т.е. площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

(19)

Вероятность попадания случайной величины x на участок от α до ß определяется следующим образом:

(20)

Пример 5

Требуется определить вероятности отказов p_i для текущих отрезков времени t, накопленную вероятность Σp_i и построить график интегрального распределения дискретных случайных величин F(x) по результатам ускоренных испытаний партии насосов в количестве N = 100 единиц.

Полученные после завершения работ данные группируются в дискретный ряд, представляющий собой количество отказов n, имевших место в каждом текущем месяце t из общей продолжительности испытаний t = 8 месяцев. Помесячное количество отказов n_і с рассчитанными значениями вероятностей их появления p = n_і/N, а также накопленная вероятность F(t) =∑ p_і сведены в табл. 1.

Таблица 1
текущий месяц, xi	1	2	3	4	5	6	7	8
количество отказов, ni	3	8	13	24	28	17	4	3
вероятность отказа, pi	0,03	0,08	0,13	0,24	0,28	0,17	0,04	0,03
накопленная вероятность, F(x)= Σpi	0,03	0,11	0,24	0,48	0,76	0,93	0,97	1

Теперь откладывая по оси абсцисс порядковые месяцы испытаний x_i, а по оси ординат F(x) значения накопленной вероятности получим скачкообразную функцию вероятности (рис.7) отказа конденсатного насоса, достигающую единицы к восьмому месяцу работы

Рис. 7 Характер распределения вероятностей

График дает наглядное представление о характере распределении вероятностей отказов насосов по результатам ускоренных испытаний.