3.7. Статистическое определение и измерение характеристик эргодических случайных процессов

Математическая статистика изучает случайные процессы на основе обработки статистических данных, которыми служат результаты наблюдений или измерений. Пусть наблюдается ССП . Как известно, для такого процесса одномерная ПРВ не зависит от времени. Нахождение этой плотности сводится к построению гистограммы (рис. 3.6) и выполняется следующим образом.

Рис. 3.6. Гистограмма случайного процесса

За время наблюдения Т получают N дискретных значений реализации случайного процесса, где N- объем выборки. Чем меньше интервал дискретизации процесса и чем больше N, тем точнее выборка отображает вероятностные свойства рассматриваемого процесса.

Определяется размах реализации случайного процесса (диапазон изменения) который разбивается на интервалов шириной

,

после чего подсчитывается число попаданий значений в каждый из интервалов . Очевидно, что . Отношение является частотой попадания случайной величины в i-й интервал, т.е. . Основное нормировочное условие

соблюдается. График и называется гистограммой.

Зависимость экспериментальной плотности от соответствующих значений случайной величины, т.е. , является статистическим аналогом графика ПРВ и совпадает по форме с построенной гистограммой.

Величина интервала определяется обычно экспериментально из условия наибольшей сглаженности гистограммы. Чем больше N , тем точнее гистограмма приближается к графику ПРВ, так как при имеем .

По полученной выборке можно вычислить величины, которые называют оценками числовых характеристик процесса.

Оценка матожидания вычисляется по формуле:

(3.9)

и совпадает со среднеарифметическим значением величин . Оценка дисперсии

. (3.10)

Оценка значения корреляционной функции

(3.11)

где - интервал дискретизации процесса.

Формулы (3.9) - (3.11) для оценок целесообразно использовать при цифровой обработке данных с применением ЭВМ. При аппаратурной реализации аналоговых измерителей характеристик процессов применяют формулы усреднения во времени:

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Оценка матожидания (3.12) пропорциональна постоянной составляющей процесса и может быть непосредственно измерена инерционным стрелочным вольтметром или цифровым вольтметром с входным интегратор.

Измеритель оценки дисперсии (3.13) должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Возведение в квадрат и усреднение выполняются инерционным квадратичным вольтметром.

Измерение оценки корреляционной функции согласно формуле (3.14) выполняется по схеме (рис. 3.7), где ЛЗ - линия переменной задержки на время - инерционный вольтметр, усредняющий перемноженные значения .

Рис. 3.7. Измеритель оценки корреляционной функции

Рис. 3.8. Характеристика компаратора

Измерение гистограммы основано на том, что частота попадания значений в i-й интервал пропорциональна времени пребывания случайного процесса в интервале. Будем использовать компаратор с характеристикой согласно рис. 3.8, тогда при подаче на его вход рассматриваемого процесса на выходе компаратора будем получать последовательность импульсов (рис. 3.9). Среднее значение напряжения , пропорциональное частоте , может быть измерено инер-

ционным стрелочным вольтметром.

Рис. 3.9. Временные диаграммы компаратора

Рис. 3.10. Измеритель ПРВ процесса

Измеритель гистограммы (статистической ПРВ) случайного процесса может содержать n компараторов с интервалами срабатывания инерционных измерителей и устройство отображения. Вариант измерителя с устройством отображения на основе осциллографического индикатора показан на рис. 3.10.

Время одного цикла подключения выходов инерционных измерителей через управляемый коммутатор (УК) на вертикальные отклоняющие пластины электронно-лучевой трубки (ЭЛТ) должно быть равно одному периоду горизонтальной развертки. В результате этого значения напряжений дадут на экране ЭЛТ отображение гистограммы в реальном масштабе времени.