3.5. Стационарный случайный процесс

Стационарный случайный процесс (ССП) - это процесс, который протекает во времени приблизительно однородно, т.е. существенно не изменяются его вероятностные характеристики. Он имеет место в установившемся режиме работы системы при неизменных внешних условиях.

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если все его многомерные ПРВ не меняются при любом сдвиге всей группы точек вдоль оси времени, т.е. при любых значениях и справедливо равенство:

. (3.7)

Аналогичные равенства должны выполняться и для других вероятностных характеристик (функций распределения, моментных и корреляционных функций). Из выражения (3.7) следует, что при и выполняется условие

,

т.е. одномерная ПРВ ССП не зависит от выбранного момента времени.

Для ССП матожидание и дисперсия являются константами, т.е.

.

Условие для матожидания не является существенным, так как от исходного процесса всегда можно перейти к центрированому процессу, для которого матожидание тождественно равно нулю и является постоянной величиной, т.е. процесс, нестационарный только за счет переменного матожидания, всегда может быть приведен к ССП.

Рассмотрим корреляционную функцию . Пусть , тогда для ССП корреляционный момент двух сечений ССП, разделенных интервалом , не зависит от того, где выбран момент , а зависит только от значения интервала :

(3.8)

т.е. равенство (3.8) является единственным существенным условием стационарности.

В ряде задач все вероятностные характеристики случайных процессов не используются, в связи с чем введено понятие стационарности в широком смысле.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его матожидание постоянно, не зависит от времени, а корреляционная функция зависит только от интервала . В общем случае эти определения стационарности не тождественны. Стационарность в узком смысле является более строгим и полным условием, чем стационарность в широком смысле.

3.6. Эргодический процесс

Рассмотрим два ССП, представленные своими реализациями (рис. 3.5.).

Рис. 3.5. Эргодический и неэргодический процессы

Для процесса любая отдельная реализация на достаточно большом интервале наблюдения дает хорошее представление о свойствах процесса в целом, чего нельзя сказать о процессе . В частности, матожидание процесса можно получить только усреднением матожиданий всех полученных реализаций.

Для эргодических ССП вероятностные характеристики могут быть получены усреднением соответствующих характеристик либо для многих реализаций, либо для одной реализации за достаточно большой промежуток времени, для неэргодических - только усреднением для многих реализаций.

Определим условие эргодичности ССП. Рассмотрим случайный процесс , где - эргодический ССП с характеристиками - некоррелированная случайная величина с характеристиками . Тогда , а , а Y от t не зависит). Следовательно, процесс является стационарным, но не эргодическим, так как каждая реализация зависит от конкретного значения Y.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что об эргодичности ССП свидетельствует вид его корреляционной функции. Если функция , то . Условие

является необходимым и достаточным условием эргодичности ССП.