3.3. Корреляционная функция
Рассмотрим два случайных процесса, представленных двумя реализациями (рис. 3.3.)
Обозначим сечения процессов через
и
,
причем
- это произвольный момент времени , а
- фиксированный временной интервал.
Рис.
3.3. Коррелированные случайные процессы
(3.1)
Выражение (3.1) показывает, что корреляционный момент характеризует, во-первых, рассеяние случайных процессов (поскольку усредняются отклонения случайных значений от матожиданий), во-вторых, взаимосвязь или взаимозависимость процессов (так как находятся произведения однотипных сомножителей, определенных для каждого из процессов). Однако рассеяние процессов обычно характеризуют дисперсией. Для учета только взаимосвязи сечений корреляционный момент делят на соответствующие среднеквадратические отклонения процессов и получают коэффициент корреляции
(3.2)
Рассмотрим характерный частный случай.
Пусть сечения процессов зависят друг
от друга строго линейно
,
где k
и
b
- коэффициенты.
Тогда
.
Вычислим коэффициент корреляции (3.2):
Рис. 3.4. Случайные
процессы, коррелированные в различной
степени
,
при
.
Полученные и промежуточные
значения
коэффициента корреляции
иллюстрируются графиками
(рис. 3.4).
Таким образом, коэффициент корреляции в общем случае лежит в пределах от минус единицы до единицы и характеризует степень линейной зависимости сечений двух случайных процессов в различные моменты времени. Положительная корреляция означает, что при возрастании значений одного случайного процесса значения другого в среднем также возрастают. Например, положительной корреляцией связанны время, затраченное на регулировку прибора, и точность его работы. Отрицательная корреляция означает, что при возрастании значений одного процесса значения другого в среднем убывают. Так связанны, например, время, затраченное на ремонт изделия, и количество оставшихся неисправностей.
Корреляционная функция (3.2) более строго
называется нормированной
взаимно корреляционной функцией.
Если рассматриваются не два, а один
случайный процесс, то определяют
нормированную автокорреляционную
функцию. Эта функция, которая
при каждой паре значений
и
равна коэффициенту корреляции
соответствующих сечений процесса,
определяется выражением:
Укажем основные свойства автокорреляционной функции.
1. При
ненормированная корреляционная функция
равна дисперсии процесса:
(3.3)
Таким образом, основными характеристиками
случайного процесса являются матожидание
и корреляционная функция, которая при
обращается в дисперсию.
2. Поскольку последовательность
рассмотрения случайных величин
и
не имеет значения, то автокорреляционная
функция симметрична относительно своих
аргументов, т.е.
.
(3.4)
3.4. Каноническое разложение случайного процесса
Случайный процесс представляет собой математический объект большой сложности. В общем случае его можно трактовать как несчетное упорядоченное множество скалярных случайных величин. Естественно можно попытаться выразить случайный процесс через более простые случайные объекты, например, через обычные скалярные случайные величины с определенными вероятными характеристиками. При этом каждой случайной величине ставится в соответствие детерминированная функция.
Представление
(3.5)
называют каноническим разложением
случайного процесса
,
где
- матожидание случайного процесса;
- координатные (базисные) функции;
- некоррелированные случайные величины
с математическими ожиданиями, равными
нулю.
Если задано каноническое разложение
случайного процесса, то его корреляционная
функция
выражается формулой:
(3.6)
где
-
дисперсия случайной величины
.
Таким образом, зная каноническое
разложение случайного процесса
,
можно сразу найти каноническое разложение
его корреляционной функции. Справедливо
и обратное положение, а именно: если
задано каноническое разложение
корреляционной функции (3.6), то для
случайной функции
справедливо каноническое разложение
(3.5) с координатными функциями
и коэффициентами
с дисперсиями
.
Число членов канонического разложения случайного процесса может быть не только конечным, но и бесконечным.
Канонические разложения случайных процессов очень удобны для выполнения различных операций анализа над случайными процессами, особенно линейных. Объясняется это тем, что в каноническом разложении случайного процесса его зависимость от аргумента t выражается при помощи вполне определенных, не случайных координатных функций, что дает возможность свести выполнение различных линейных операций над случайными процессами (например, дифференцирование, интегрирование и т.д.) к соответствующим операциям над неслучайными координатными функциями, т.е. к обычным операциям анализа. Особенно важное значение каноническое разложение имеет для приложения теории случайных процессов к решению задач обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех.