![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Компьютерная арифметика и алгоритмическое моделирование арифметических операций
- •Введение
- •Глава 4, подготовленная доцентом о.П. Шафеевой, посвящена вопросам разработки алгоритмических моделей выполнения арифметических операций и моделирования на пэвм спроектированных алгоритмов.
- •Основы двоичной компьютерной арифметики
- •1.1. Позиционные системы счисления
- •Десятичная позиционная система счисления
- •Двоичная позиционная система счисления
- •1.1.3. Восьмеричная позиционная система счисления
- •1.1.4. Шестнадцатеричная позиционная система счисления
- •Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
- •1.2.1. Перевод целых чисел
- •1.2.2. Перевод правильных дробей
- •1.2.3. Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую
- •1.2.4. Частный случай перевода чисел из одной системы счисления в другую
- •1.2.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую с использованием промежуточной двоично-десятичной системы
- •1.3. Представление чисел с фиксированной запятой (точкой)
- •1.4. Представление чисел с плавающей запятой (точкой)
- •1.5. Коды двоичных чисел
- •1.5.1. Прямой код
- •1.5.2. Обратный код
- •1.5.3. Модифицированный обратный код
- •1.5.4. Дополнительный код
- •1.5.5. Модифицированный дополнительный код
- •2. Выполнение арифметических операций с двоичными числами
- •2.1. Сложение (вычитание) двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.1.1. Алгебраическое сложение чисел в дополнительном коде
- •2.1.2. Алгебраическое сложение чисел в обратном коде
- •2.1.3. Переполнение разрядной сетки при сложении чисел
- •2.2. Сложение (вычитание) двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.2.1. Метод ускоренного сложения двоичных чисел с запоминанием переносов
- •2.3. Умножение двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.4. Машинные технологии выполнения операции умножения двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.5. Умножение двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.6. Методы ускоренного выполнения операции умножения двоичных чисел
- •2.6.1. Метод пропуска такта суммирования
- •2.6.2. Метод анализа сомножителей
- •2.6.3. Метод расшифровки и одновременного умножения на два разряда множителя
- •2.6.4. Метод ускоренного умножения Мак-Сорли
- •2.6.5. Метод ускоренного умножения Лемана
- •2.6.6. Метод умножения с расшифровкой пар разрядов множителя и запоминанием переносов
- •2.7. Деление двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.8. Деление двоичных чисел с плавающей запятой
- •3. Основы десятичной компьютерной арифметики
- •3.1. Машинное кодирование десятичных чисел
- •3.2. Выполнение арифметических операций с десятичными числами
- •3.2.1. Сложение десятичных чисел в эвм
- •3.2.2. Умножение десятичных чисел в эвм
- •3.2.3. Ускорение умножения в -кодах
- •Деление десятичных чисел в эвм
- •4. Алгоритмические модели выполнения арифметических операций
- •4.1. Проектирование универсального алгоритма перевода чисел в разные системы счисления
- •4.2. Моделирование алгоритма сложения двоичных чисел
- •Различные случаи ненормализованных мантисс
- •4.3. Проектирование алгоритма умножения чисел
- •4.5. Проектирование алгоритма деления чисел
- •4.7. Разработка алгоритма вычисления квадратного корня
- •Компьютерная арифметика и алгоритмическое моделирование арифметических операций
1.2.3. Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую
Если число – неправильная дробь, то в этом случае отдельно переводят целую часть числа и отдельно его дробную часть по изложенным выше правилам. Второй результат приписывают справа к первому, разделив их запятой.
Пример.
Перевести десятичное число 75,364 в двоичную систему счисления, т.е.
7
5,364(10) (2).
Перевод целой части: Перевод дробной части:
Операция Частное Остаток Операция Целая Дробная
часть часть
75 : 2 = 37 + 1 0,364 х 2 = 0, 728
37 : 2 = 18 + 1 0,728 х 2 = 1, 456
18 : 2 = 9 + 0 0,456 х 2 = 0, 912
9 : 2 = 4 + 1 0,912 х 2 = 1, 824
4 : 2 = 2 + 0 0,824 х 2 = 1, 648
2 : 2 = 1 + 0 0,648 х 2 = 1, 296
1 и т.д.
Результат
перевода неправильной дроби с точностью
:
75,364(10)=1001011,010111(2).
1.2.4. Частный случай перевода чисел из одной системы счисления в другую
Особенно
просто перевод чисел из одной системы
счисления в другую осуществляется для
таких систем, у которых основание одной
системы является целой степенью основания
другой системы. Выше были рассмотрены
две такие системы: двоичная и восьмеричная,
у которых соотношения оснований
,
и двоичная и шестнадцатеричная, у которых
соотношения оснований
.
Пусть
и
– соответственно основания двух
позиционных систем счисления, причем
(
–
целые числа). Требуется перевести число
из
-ичной
системы в
-ичную
систему и, наоборот, из
-ичной
в
-ичную
систему счисления.
Правила
перевода. Для
перевода произвольного числа
из
-ичной
системы в
-ичную
необходимо каждую цифру числа
в
-ичной
системе заменить ее
-значным
изображением в
-ичной
системе счисления.
Для
перевода произвольного числа
(в общем случае неправильной дроби) из
-ичной
системы счисления в
-ичную
необходимо цифры числа
слева и справа от запятой разбить на
группы по
цифр в каждой, дополнив, если это
необходимо, крайнюю левую и крайнюю
правую группы нулями до
цифр в группе и заменив каждую такую
-значную
группу цифрой в
-ичной
системе счисления.
Изложенные правила поясним на примерах перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно.
Основание
восьмеричной системы
.
Основание двоичной системы
.
Откуда следует, что
,
т.е.
.
Таким образом, для перевода произвольного восьмеричного числа в двоичную систему счисления следует каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим ей трехзначным двоичным числом.
Пример.
Восьмеричное
число
равно двоичному числу
,
т.к. 7=111, 4=100, 3=011, 5=101, 6=110, 1=001.
Для перевода произвольного двоичного числа в восьмеричное систему счисления необходимо, начиная от запятой, разделяющей число на целую и дробную части, влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих двоичное число, на тройки цифр. Каждое полученное трехзначное двоичное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления. Если правая и левая группы цифр будут не полными тройками, то их следует дополнить соответственно справа и слева нулями.
Пример.
Двоичное
число
после дополнения его справа и слева
нулями до полных троек имеет вид: (001)
(101) (110), (011) (111) (010). Эта запись равна
восьмеричному числу
.
Аналогичные преобразования справедливы для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричные и наоборот.
Пример.
Двоичное
число
после разбивки его на тетрады слева и
справа от запятой принимает вид: (1110)
(1101) (1001), (1100) (0111) (1111). Эта запись равна
шестнадцатеричному числу
.
Пример.
Шестнадцатеричное
число
в двоичной системе имеет следующий вид:
.
Для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот необходимо использовать в качестве промежуточной двоичную систему счисления.