- •Компьютерная арифметика и алгоритмическое моделирование арифметических операций
- •Введение
- •Глава 4, подготовленная доцентом о.П. Шафеевой, посвящена вопросам разработки алгоритмических моделей выполнения арифметических операций и моделирования на пэвм спроектированных алгоритмов.
- •Основы двоичной компьютерной арифметики
- •1.1. Позиционные системы счисления
- •Десятичная позиционная система счисления
- •Двоичная позиционная система счисления
- •1.1.3. Восьмеричная позиционная система счисления
- •1.1.4. Шестнадцатеричная позиционная система счисления
- •Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
- •1.2.1. Перевод целых чисел
- •1.2.2. Перевод правильных дробей
- •1.2.3. Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую
- •1.2.4. Частный случай перевода чисел из одной системы счисления в другую
- •1.2.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую с использованием промежуточной двоично-десятичной системы
- •1.3. Представление чисел с фиксированной запятой (точкой)
- •1.4. Представление чисел с плавающей запятой (точкой)
- •1.5. Коды двоичных чисел
- •1.5.1. Прямой код
- •1.5.2. Обратный код
- •1.5.3. Модифицированный обратный код
- •1.5.4. Дополнительный код
- •1.5.5. Модифицированный дополнительный код
- •2. Выполнение арифметических операций с двоичными числами
- •2.1. Сложение (вычитание) двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.1.1. Алгебраическое сложение чисел в дополнительном коде
- •2.1.2. Алгебраическое сложение чисел в обратном коде
- •2.1.3. Переполнение разрядной сетки при сложении чисел
- •2.2. Сложение (вычитание) двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.2.1. Метод ускоренного сложения двоичных чисел с запоминанием переносов
- •2.3. Умножение двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.4. Машинные технологии выполнения операции умножения двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.5. Умножение двоичных чисел с плавающей запятой
- •2.6. Методы ускоренного выполнения операции умножения двоичных чисел
- •2.6.1. Метод пропуска такта суммирования
- •2.6.2. Метод анализа сомножителей
- •2.6.3. Метод расшифровки и одновременного умножения на два разряда множителя
- •2.6.4. Метод ускоренного умножения Мак-Сорли
- •2.6.5. Метод ускоренного умножения Лемана
- •2.6.6. Метод умножения с расшифровкой пар разрядов множителя и запоминанием переносов
- •2.7. Деление двоичных чисел с фиксированной запятой
- •2.8. Деление двоичных чисел с плавающей запятой
- •3. Основы десятичной компьютерной арифметики
- •3.1. Машинное кодирование десятичных чисел
- •3.2. Выполнение арифметических операций с десятичными числами
- •3.2.1. Сложение десятичных чисел в эвм
- •3.2.2. Умножение десятичных чисел в эвм
- •3.2.3. Ускорение умножения в -кодах
- •Деление десятичных чисел в эвм
- •4. Алгоритмические модели выполнения арифметических операций
- •4.1. Проектирование универсального алгоритма перевода чисел в разные системы счисления
- •4.2. Моделирование алгоритма сложения двоичных чисел
- •Различные случаи ненормализованных мантисс
- •4.3. Проектирование алгоритма умножения чисел
- •4.5. Проектирование алгоритма деления чисел
- •4.7. Разработка алгоритма вычисления квадратного корня
- •Компьютерная арифметика и алгоритмическое моделирование арифметических операций
2.1.1. Алгебраическое сложение чисел в дополнительном коде
Дополнительные коды чисел суммируются поразрядно по правилам двоичной арифметики, при этом знаковые разряды складываются по тем же правилам, как будто они являются разрядами целых чисел. Единица переноса, если она образуется при сложении знаковых разрядов, не учитывается, т.е. теряется. Данное правило относится и к модифицированному дополнительному коду.
При условии, что слагаемые по модулю меньше единицы: и их сумма по модулю также меньше единицы: , сложение чисел в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде дает сумму в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде.
Пример.
Пусть требуется найти сумму двух чисел и в дополнительном коде, если выполняются оговоренные выше условия и при этом .
X = – 0,101001 [X]qon = 1,010111
+ Y = – 0,001101 + [Y]qon = 1,110011
X+Y= – 0,110110 [X+Y]qon = 11,001010
не учитывается
[X+Y]np= 1,110110 [X+Y]np = 1,110110
Пусть X > 0; Y < 0; (X+Y) > 0. Найти сумму в дополнительном коде.
X = + 0,110110 [X]qon = 0,110110
Y = − 0,010010 [Y]qon = 1,101110
X + Y = + 0,100100 [X+Y]qon = 10,100100
не учитывается
[X+Y]np = 0,100100 [X+Y]np = 0,100100
2.1.2. Алгебраическое сложение чисел в обратном коде
Обратные коды чисел суммируются так же, как и дополнительные, поразрядно по правилам двоичной арифметики, при этом знаковые разряды складываются по тем же правилам, как будто они являются разрядами целых чисел. Единица переноса, если она образуется, при сложении знаковых разрядов прибавляется к младшему разряду суммы кодов. Данное правило относится и к модифицированному обратному коду.
При выполнении условия, что слагаемые и их сумма , сложение чисел в обратном (модифицированном обратном) коде дает сумму в обратном (модифицированном обратном) коде.
Пример.
Пусть требуется найти сумму двух чисел и в обратном коде, при оговоренных выше условиях и при этом .
X = – 0,110001 [X]ob = 1,001110
+ Y = – 0,001001 + [Y]ob = 1,110110
+
[X+Y]np= 1,110110 1
[X+Y]ob = 1,000101
[X+Y]np = 1,111010
Пусть X > 0; Y < 0; (X+Y) > 0. Найти сумму в дополнительном коде.
X = + 0,111001 [X]ob = 0,111001
Y = − 0,010101 [Y]ob = 1,101110
+
[X+Y]np = 0,100100 1
[X+Y]ob = 0,100100
[X+Y]np = 0,100100