4 Формула Гаусса

Предыдущие методы предусматривали интегрирование с произвольным разбиением интервала. Фактически разбиение производилось на равные отрезки. Метод Гаусса предусматривает ограниченное количество интервалов, причем концы интервалов располагаются так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования (то есть уменьшить ошибку ограничения). Для этого пределы интегрирования заменяются так, чтобы они стали равными (+1;-1). Для этого вводится новая переменная так, что

,

где

.

Формула метода Гаусса для n ординат имеет вид:

,

где коэффициенты , определяются из таблиц, как функции количества ординат n.

В частности, для двух ординат формула Гаусса имеет вид:

,

Таблица значений и для n = 2, 3, 4 приведена ниже.

Таблица 2 – Значения и для n = 2, 3, 4

n = 2	+0.5773502692 -0.5773502692	1.000
n = 3	+0.7745966692 -0.7745966692 0.00000000000	+0.5555555556 -0.5555555556 0.8888888889
n = 4	+0.8611363116 -0.8611363116 +0.3399810436 -0.3399810436	+0.3478548451 -0.3478548451 +0.6521451540 -0.6521451540

5 Задания для самостоятельной работы

1.Повторить:

• особенности численных методов интегрирования;

• методические погрешности для каждого метода;

• влияние числа интервалов интегрирования n на погрешность округления и ограничения (с учётом накопления погрешности округления);

• рассмотреть вопрос о целесообразности увеличения числа интервалов интегрирования.

2.Обратить внимание на численный метод интегрирования Гаусса. Изучить его особенности.

3.Составить граф-схемы алгоритмов численного интегрирования методами:

• правых, левых, средних прямоугольников;

• метода трапеций;

• метода Симпсона;

• метода Гаусса.

4.По граф-схемам алгоритмов составить программы численного интегрирования.

5.Вычислить точное значение интеграла , где функция f(x) берется из табл.3. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента по списку

Таблица 3 – Варианты заданий для выполнения лабораторной работы

Вариант №1,13 20sin5x-cos4x	Вариант №2,14 5sinx+20cos5x	Вариант №3,15 7sin4x+10cos5x	Вариант №4,16 15sin8x-9cos3x
Вариант №5,17 27sin2x+12cos3x	Вариант №6,18 7sin2x-2cosx	Вариант №7,19 11sin3x-cos3x	Вариант №8,20 5cos2x-3sinx
Вариант №9,21 6sin7x-cos7x	Вариант №10,22 10sin5x-cos2x	Вариант №11,23 8sin2x-2cosx	Вариант №12,24 7sin4x+10cos5x

5 Задания для практической работы

Вычислить по методу Гаусса с двумя или с тремя ординатами значение интеграла, подинтегральная функция которого задана таблицей 4.

Таблица 4 – Варианты заданий для выполнения практической работы

№ варианта	Количество ординат, n	Функция	Пределы интегрирования
			а	в
1	2	3	4	5
1	2	х	0	2
2	2	х2	0	1
3	2	х3	0	3
4	2	х	1	3
5	2	х2	1	2
6	2	х3	1	2
7	2	х	2	4
8	2	х2	2	3
9	2	х3	2	3
10	2	х	3	5
11	2	х2	3	4
12	2	х3	3	4
13	3	х	0	1
14	3	х2	0	1
15	3	х3	0	1
16	3	х	0	2
17	3	х2	0	2
18	3	х3	0	2
19	3	х	1	2
20	3	х2	1	2
21	3	х3	1	2
22	3	х	1	3
23	3	х2	1	3
24	3	х3	1	3