4 Метод хорд (пропорциональных частей, ложного положения)

При отыскании корня этот метод нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем предыдущий. Счет ведется следующим образом:

Р исунок 4.5 – Графическое представление метода хорд

Вначале определяется значение функции в точках, расположенных на оси Х через равные интервалы. Это делается до тех пор, пока не будет найдена пара последовательных значений функции F(a) и F(b), имеющих противоположные знаки. Хорда, проведенная через точки F(a) и F(b) описывается уравнением:

.

Хорда пересекает ось Х при значении х=С₀, при этом y=0 (рис.4.5). При этих условиях имеем:

.

Это значение аргумента используется для определения значения функции F(С₀), которое сравнивается со значениями функций F(a) и F(b) и в дальнейшем используется вместо того из них, с которым оно совпадает по знаку. Если значение F(С₀) недостаточно близко к нулю, то вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

5 Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть уравнение

F(x)=0 (1)

существует на отрезке [a;b], причем F(x) и F(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при a x b. Найдя какое-нибудь n-ое приближение корня x_n , мы можем уточнить его по методу Ньютона.

Положим

, (2)

где h_n – малая величина.

Тогда, применяя формулу Тейлора, имеем:

Следовательно,

. (3)

Внеся эту поправку в (2), найдем следующее по порядку приближение корня:

. (4)

Это и есть формула Ньютона, или касательных.

Рисунок 4.6 – Графическое представление метода Ньютона

Геометрически метод Ньютона (рис.4.6) эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=F(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В качестве первого приближения х₁ корня ξ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку В1[x₁,F(x₁)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой дает второе приближение x₂ корня и т.д.

Формулу Ньютона можно получить и другим способом.

Уравнение касательной в точке В_n[x_n,F(x_n)] имеет вид

. (5)

Подставляя в (5) значения у=0 и x=x_n+1, получим (3).

Можно показать, что начальное приближение x₀ должно удовлетворять неравенству

Метод Ньютона очень широко используется при построении итерационных алгоритмов. Это объясняется тем, что в отличие от предыдущих методов для определения интервала, в котором находится корень, не требуется находить значения функции с противоположными знаками.

6 Видоизмененный метод Ньютона (метод Рыбакова)

Если F(x) мало меняется на [a,b], то в формуле Ньютона можно положить

,

то есть, получаем последовательные приближения

Геометрически это означает (рис.4.7), что мы заменяем касательные в точках B_n[x_n,F(x_n)] прямыми, параллельными касательной к кривой y=F(x_n) в ее фиксированной точке B₀[x₀ ,F(x₀)].

Рисунок 4.7 – Видоизмененный метод Ньютона

Эта формула избавляет нас от необходимости вычислять каждый раз Это особенно полезно, если производная сложна.