Качественная теория динамических систем

Качественная теория динамических систем предполагает, что исходная система дифференциальных уравнений (второго порядка) уже линеаризована в окрестности одной из своих особых точек.

Предположим, мы нашли особую точку для какой-либо и системы и линеаризовали систему в окрестности этой точки. Наша линеаризованная система имеет вид:

Представим систему в матричном виде: слева столбец производных, а справа – столбец свободных членов

Делаем вывод, что данная система всегда имеет тривиальное решение . Система будет иметь нетривиальное решение, если определитель матрицы будет равен нулю, т. е. когда .

Составим для исходной системы характеристическое уравнение . Распишем это уравнение:

Найдём корни этого характеристического уравнения:

Новый термин: трек – это сумма элементов главной диагонали, обозначение – .

Тип особых точек исследуемой линеаризованной системы определяется корнями характеристического уравнения.

Выполнить отчёты по всем лабораторным работам с обложкой “Контрольная работа”

26.04.2012 Лекция

Опишем всевозможные результаты корней:

1. => корни вещественные, неотрицательные и различные, а фазовые траектории – параболы

1. => корни положительные. Особая точка типа “узел” является неустойчивой, т. е. с течением времени

2. => корни отрицательные. Особая точка типа “узел” является устойчивой

2. => корни вещественные и равные. В этом случае особая точка – это вырожденный узел – дикритический узел (на фазовой плоскости имеем семейство двойных парабол относительно , как в случае 1, и относительно )

3. => корни вещественные и различные по знаку. Особая точка – седло, фазовые траектории имеют форму гипербол.

4. => корни комплексно-сопряжённые,

1. => => имеем особую точку типа устойчивый фокус. Фазовые траектории в виде спиралей, приближающихся к особой точке

2. => => имеем неустойчивый фокус, спирали отдаляются от особой точки

5. , => имеем чисто комплексные корни. Особая точка типа центр, фазовые траектории имеют форму эллипсов

6. => хотя бы один из корней равен нулю. Особые точки заполняют одну из координатных осей, фазовые траектории – прямые. Особые точки здесь безымянные.

Водозабор исследования особых точек:

Провести следующее компьютерное исследование:

Задана линеаризованная система дифференциальных уравнений. Подобрать значения коэффициентов матрицы системы так, чтобы получить начало координат как особую точку заданного типа (всех рассмотренных типов с 1-го по 6-й) и в каждом случае построить фазовые траектории.

Замечание: все фазовые точки имеют силу только вблизи к началу системы координат. Иными словами, начальное условие должно задаваться вблизи к началу координат. Для особых точек каждого типа понятие близости к началу координат различается.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Катермина Татьяна Сергеевна

07.09.2012 Лекция

Вторую половину курса ведёт Татьяна Сергеевна! Ура!

САМООРГАНИЗАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУР.

РАСПРЕДЕЛЁННЫЕ СИСТЕМЫ.

Точечные модели – это модели, в которых искомые величины зависят только от времени (это все модели, рассмотренные ранее).

Распределённые модели – это модели, в которых величины меняются не только во времени, но и в пространстве.

В дальнейшем будут рассмотрены системы, в которых могут возникать устойчивые пространственные неоднородные связи, возникающие в результате развития неустойчивостей в однородной диссипативной среде (в среде, которая не получает энергии из вне). Такие структуры принято называть диссипативными. В 1952-ом году Алан Тьюринг основал теорию диссипативных сред.

Базовая модель теории распределённых или диссипативных систем описывается следующей системой уравнений:

и – это, кроме всего прочего, ещё и функции, описывающие процессы в распределённых системах

и – это функции среды

и – скорости распределения возмущений по осям и соответственно

– величина, равная радиальной координате, .

Иногда данные уравнения называют распределёнными или диффузионными.

Эта модель описывает процессы самопроизвольного возникновения и распространения волн в распределённых системах, которые также называются процессами самоорганизации.

Автоволны – это периодические самоподдерживающиеся волны или активности. В зависимости от видов функций , , в системе могут возникать следующие типа поведения и самоорганизации.

<вставить рисунки сюда>

5 – Стационарное неоднородное распределение переменных в пространстве диссипативной структуры.

6 – Генерация волн автономным источником импульсной активности. В качестве такого источника могут быть локальные возмущения переменных.

Общим условием развития процессов самоорганизации является появление неустойчивости в исходной распределённой системе. Такие неустойчивости могут возникнуть, если отклонение от состояния равновесия превышает критическое. В частности, такие неустойчивости могут возникнуть в системах с особой точкой типа “седло”, а “неустойчивый узел” может вызвать даже возникновение бегущих волн конечной амплитуды или стоячих волн.

Диссипативная структура, возникающая в результате неустойчивости, в реальном мире может поддерживаться за счёт постоянного притока энергии и вещества. Например, стоячие волны.

Для возникновения диссипативных структур нужно, чтобы уравнение, описывающее процессы в системе, были нелинейными. Кроме того, процессы в системе должны протекать согласовано. Изучением таких систем занимается синергетикой – междисциплинарная область или наука.