§ 1. Основные понятия.

Система «m» линейных уравнений с «n» неизвестными:

( )

Здесь m -число уравнений; n - число неизвестных, - коэффициенты системы; - свободные члены; - неизвестные, i = 1,…, n; j= 1,…, m.

Решение системы ( ) - это набор чисел ( …, ), который при подстановке в систему дает m верных равенств:

Пример.

(1; -2) - решение системы , т.к. - система верных равенств.

Система ( ) - совместная, если она имеет хотя бы одно решение; иначе - система несовместная.

Пример.

- совместная система;

- несовместная система (если выполнено равенство: , то не может выполняться равенство: , т.к. -2( ) = -28 = -16 ≠ 3).

Совместная система - определенная, если она имеет единственное решение; иначе она -неопределенная.

Пример.

- определенная система;

- неопределенная система (решения системы: (4; 3), (10; 7), …).

Две линейные системы называются равносильными (), если они имеют одинаковое число неизвестных и множества решений этих систем совпадают.

Пример.

1) Системы и - не равносильны, т.к. у них разное число

неизвестных.

2) Системы и - не равносильны,

т.к. (2; 1) является решением первой системы и не является решением второй системы.

3) Системы и - равносильны, т.к. обе системы имеют одно и

то же множество решений: {(2; 1)}.

§ 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Рассматривается система «n» линейных уравнений с «n» неизвестными (m = n):

( )

Введем обозначения: Δ = - основной определитель системы ( );

Δ₁ = , Δ₂ = ,… , Δ_n = -

вспомогательные определители системы ( ).

Теорема Крамера. Если Δ ≠ 0, то система ( ) имеет единственное решение:

- формулы Крамера.

Пример.

. Δ = = 17, Δ₁ = = 17, Δ₂ = = -34.

= = 1, = = -2.

Ответ: (1; -2).

Пример.

. Δ = = = -1 = -29,

Δ₁ = = = -1 = -29,

Δ₂ = = = -1 = - 87,

Δ₃ = = = -1 = -145.

= = 1, = = 3, = = 5.

Ответ: (1; 3; 5).

§ 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Введем обозначения: A = - основная матрица системы ( ),

B = - матрица-столбец свободных членов, X = - матрица-столбец неизвестных.

Система ( ) равносильна матричному уравнению:

( )

Если Δ = det A ≠ 0, то решение матричного уравнения ( ) дается формулой:

,

где - обратная матрица к матрице .

Пример.

. A = , B = , X = , = ,

=  =  =  =  .

Ответ: (1; -2).

Пример.

. A = , B = , X = , Δ = -29.

A₁₁ = = - 15 A₁₂ = - = 1 A₁₃ = = 5

A₂₁ = - = 1 A₂₂ = = -2 A₂₃ = - = - 10

A₃₁ = = 3 A₃₂ = - = - 6 A₃₃ = = - 1

A^-1 =  =  .

=   =  =  = 

Ответ: (1; 3; 5).