Praktikum_po_matematike

Федеральное агентство по образованию

–––––––––––––-

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

А.И. Сурыгин Н.Д. Шаглина

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Практикум по математике

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета

2005

2) от линейных уравнений с одной неизвестной и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – к системам произвольного числа линейных уравнений с произвольным числом неизвестных.

Завершается развитие понятия уравнение после изучения элементов математического анализа рассмотрением качественно нового типа уравнений – дифференциальных уравнений, в которых неизвестной является функция, а не число, как в алгебраических уравнениях.

Развитие понятия функция происходит через овладение основами математического анализа (понятия предела и непрерывности функции, производной и дифференциала, первообразной, неопределённого и определённого интегралов). Приложения дифференциального исчисления продемонстрированы на примерах исследования функций. Дифференциальное и интегральное исчисления применены при решении дифференциальных уравнений. В качестве приложений определённого интеграла даны примеры и задачи на вычисление площадей плоских фигур.

Материал пособия прошёл апробацию в течение трёх лет в практике преподавания курса математики студентам специальности «Регионоведение» в Институте международных образовательных программ СПбГПУ.

Пособие рекомендовано к изданию кафедрой математики и методическим советом ИМОП.

4

Множество рациональных чисел Q включает множество целых чисел Z (Z Q), то есть множество целых чисел Z есть подмножество множества рациональных чисел Q .

I – множество иррациональных чисел.

Понятие иррационального числа является дальнейшим расширением понятия о числе.

Иррациональные числа можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Например, 2 =1,414213...; π = 3,14159... .

Множество иррациональных чисел I не включает множество рациональных чисел Q I Q , множество Q не включено в I (Q I ). Множест-

ва I и Q не имеют общих элементов, их пересечение – пустое множество

(Q I I = ).

Объединение множества рациональных и множества иррациональных чисел – это множество вещественных (действительных) чисел

Q U I = R .

C – множество комплéксных чисел.

Определение 1.1. Множество комплексных чисел – это мно-

жество чисел вида a + bi, где a, b R , i2 = −1.

C ={z = a + ib | a R,b R,i2 = −1}.

6

например, уравнений x2 +1 = 0 или x2 + 2x + 3 = 0 .

Структуру числовой системы (отношение включения между основными числовыми множествами) можно иллюстрировать кругами Эйлера

(рис. 1.1).

Из рис. 1.1 видно, что N Z Q R C и I R C . Заштриховано

на рисунке множество иррациональных чисел I, дополняющее множество рациональных чисел Q до множества вещественных чисел R: Q U I = R .

1 . 2 . АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛÉ КСНОГО ЧИСЛА

Комплéксное число можно интерпретировать как точку на координатной плоскости (рис. 1.2). Координатную плоскость, рассматриваемую как модель множества комплексных чисел, называют комплéксной плоско-

стью.

Комплéксную плоскость можно рассматривать как модель множества комплéксных чисел, так как между точками плоскости и элементами мно-

жества комплéксных чисел имеет место взаимно однозначное соответствие.

Это означает, что каждому комплéксному числу соответствует одна и только

одна точка комплéксной плоскости и, наоборот, каждой точке комплéксной плоскости

соответствует одно и только одно комплéксное число.

Ось абсцисс комплексной плоскости, на которой откладывают вещественные части комплексных чисел, называют вещественной осью. Ось ординат, на которой откладывают мнимые части комплексных чисел, на-

зывают мнимой осью.

7

Существуют различные формы записи комплексных чисел:

алгебраическая, тригонометрическая, показательная. z = a + bi – алгебраическая форма комплексного числа.

Число r = a2 + b2 называют модулем комплéксного числа z = a + bi

и обозначают z :

z = a + bi = a2 + b2 = r .

Модуль комплéксного числа численно равен длине (модулю) соответствующего этому числу радиус-вектора.

Угол φ, образованный радиус-вектором с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплéксного числа и обозначают Arg z .

В общем случае аргумент комплексного числа может принимать любое значение:

−∞ < Arg z < +∞.

Значения Arg z в промежутке (− π, π] называют главным значением аргумента и обозначают arg z :

arg z = ϕ ( − π< arg z ≤ π).

Комплексному нулю Z = a + bi = 0 на комплексной плоскости соответствует нулевой радиус-вектор или нуль-вектор.

Длина (модуль) такого вектора равна 0. Следовательно, модуль комплексного нуля равен 0.

Нуль-вектору можно приписать любое направление. Следовательно, аргументу комплексного нуля можно приписать

произвольное значение.

1 . 3 . АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Арифметические действия с комплексными числами (определения). Равенство двух комплéксных чисел:

8

z = a + bi .

Комплéксно сопряжённые числа имеют следующие свойства:

Свойства арифметических действий с комплексными числами аналогичны свойствам арифметических действий с вещественными числами:

1) z1 + z2 = z2 + z1

(коммутативность сложения); 2) (z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3 )

(ассоциативность сложения); 3) для z1 и z2 z такое, что z1 + z = z2 z = z2 − z1

(разность комплексных чисел);

4) z1 z2 = z2 z1

(коммутативность умножения); 5) z1 (z2 z3 )= (z1 z2 ) z3

(ассоциативность умножения); 6) z1 (z2 + z3 )= z1 z2 + z1 z3

(дистрибутивность умножения относительно сложения);

7) для z2 и z1 ≠ 0 (т.е. a1 ≠ 0 и b1 ≠ 0) z такое, что

9