Praktikum_po_matematike

1)

(u + v)′ =u′ + v′

(производная суммы);

2)

′

′

′

(производная произведения);

(u v)

= u v +uv

′

′

3)

(c f (x))

= c f

(постоянный множитель можно

(x), c=const

′

выносить за знак производной);

u

′

′

4)

=

u v −uv

(производная частного).

v2

v

Этой формулой можно пользоваться, если функция u(x)

дифференцируема в точке x, а функция y(u) дифференцируема в точке u.

Формулу производной сложной функции можно обобщить для

произвольного числа n функций. Так, если y = f (u), u = ϕ(z), z = ψ(x)

и

y = f {ϕ[ψ (x)]}, причём существуют производные fu′; ϕ′z ; ψ′x ,

то

′ ′

=1

′

=

1

′

ϕ′

ϕy fx

f x

( ϕy ≠ 0 ).

y

(u

n

′

= n u

n−1

u

′

(tg u)′ =

1

u′

)

cos2 u

u

′

u

′

u

′

u

′

(ctg u)′

=

−1

u′

(a

)

(e

) = e

u

sin 2 u

= a ln a u ;

(loga u)′ =

1

u′; (ln u)′

=

1

u′

(arcsin u)′ =

1

u′

u ln a

u

1 −u2

(sin u)′ = cos u u′

(arccos u)′ =

−1

u′

1 −u2

(cos u)′ = −sin u u′

(arctg u)′ =

1

u′

+ u2

1

По формуле производной сложной функции

y′x

= yu′ u′x = (cos u)

5 =5cos5x .

2) Полагаем, что u = x2 + x +1. Тогда u′x = 2x +1.

y = u100 ;

yu′ =100 u99 . Следовательно,

y′x

= yu′ u′x

=100 u99 (2x +1)=100(x2 + x +1)99 (2x +1).

3) Пусть u =3x2 + x +1;

u′x = 6x +1, тогда y =8u ,

yu′ =8u ln8 ,

y′x =8u ln8 (6x +1)=83x2 +x+1 ln8 (6x +1).

4) В этом случае применим правило дифференцирования сложной

функции дважды:

′

y′x =

1

x

′

1

1

x

1

tg

=

=

.

2

x

x 2

2

tg

x

x

2 tg

x

cos

2

2

x

2

4 cos

tg

2

2

2

2

Ответы: 1) 5cos5x;

2) 100(x2 + x +1)99 (2x +1);

3)

1

.

x 2

x

4 cos

tg

2

2

y =

1 + x2

; x ≠ πk, k Z .

x4

(sin x)7

3

где z = ln y = ln

1 + x2

= ln(1 + x2 )− 4

3

ln x − 7 ln(sin x).

x4 (sin x)7

3

Тогда

z′ =

2x

4

− 7 ctg x и получаем

−

1 + x2

3x

y′ = y z′

1

+ x2

2x

4

=

−

− 7ctg x .

3 x4

(sin x)7

+ x2

3x

Ответ:

1

1 + x2

2x

4

−

− 7ctg x .

3 x4 (sin x)7

+ x2

3x

1

☺

′

1

′

≠ 0 ):

ϕ′

функции f x =

( ϕy

y

′

1

1

1

1

(arcsin x)x

=

=

= cos(arcsin x)=

1 − x2 .

(sin y)′y

cos y

1

Ответ:

1 − x2 .

☺

Примеры 6. Найти уравнение касательной и нормали к графику

функции:

1) y = x2

в точке x0 =3 ;

2)

y = x3 − 2x +1 в точке x0 = 2 .

y = f (x0 )−

1

(x − x0 )=9 − x −3 y = −x 6 + 9,5 .

f

′(x0 )

6

2)

В точке x0 = 2

f (x0 )= 23 − 2 2 +1 =5; f ′(x0 )=3 22 − 2 =10 .

Уравнение касательной:

y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )=5 +10(x − 2) y =10x −15 .

Уравнение нормали:

1

x − 2

y = f (x0 )−

(x − x0 )=5 −

y = −0,1x + 5,2 .

f

′(x0 )

Ответы:

10

1)

уравнение касательной y = 6x −9;

уравнение нормали y = x 6 +19 2;

2)

уравнение касательной y =10x −15;

уравнение нормали y = −0,1x + 5,2 .

графику функции

y =sin x ;

2)

y = arcsin x .

1)

Решения.

f (x0 )=sin 0 = 0;

f ′(x0 )= cos0 =1.

1) В точке x0 = 0

Уравнение касательной:

y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )= 0 +1(x − 0) y = x

2) В точке x = 0

f (0)= arcsin 0 = 0;

′

1

f (0)= 1 − 0 =1.

Уравнение касательной:

y = f (x0 )

+ f ′(x0 )(x − x0 )= 0 +1(x − 0)= x y = x .

Ответы: 1) y = x ;

2) y = x .

☺

Примеры 8. Найти дифференциал функции

1) y = x3 ;

2) y = x2 −1;

3) y = (x3 − 2)4 .

Решения. Находим дифференциал функции, используя формулу

df (x)= f

′

(x)dx .

сложной функции: y

′

=

1

2x =

x

. Тогда dy =

xdx

2

x2 −1

x2 −1

x2 −1

3) y = (x3 − 2)4 y′ = 4(x3 − 2)3 (x3 )′ = 4 3x2 (x3 − 2)3 =12x2 (x3 − 2)3 .

dy =12x2 (x3 − 2)3 dx .

Ответы: 1) 3x2 dx ;

2)

x dx

;

3) 12x2 (x3 − 2)3 dx .

x2 −

1

1) Найти производную функции y = x5 − x4 + 9 и вычислить её значения в

точках x=0 и x=1.

Найти производные:

x2 − 6

x2 +1

2) y = (x2 −1)(3x2 + 5); 3) y = (2x3 −3)(2x3 −1); 4) y =

; 5)

y =

;

3x +1

x2 −1

3x − 2

x2

2x2

+ 3x + 4

6) y =

; 7) y =

−1

; 8) y =

; 9)

y =

4

−

1

−

1

;

4x + 5

x2

+ 4

x2

+ x +1

x

2x2

3x

3

10) y = 3 9x2

− 4 7x3 ; 11) y = 4

x + 63

x2 −84 x3 ; 12) y = tg x − ctg x ;

13)

y = tg x − x ; 14)

y = x x 3 x ;

15) y =t 2 3 t ; 16)

y = 7 cos x −5sin x − 9 ;

17)

y = log3 (4x − 2);

18)

y = ln(x3 );

19)

y = (ln x)3 ; 20) y =

1 + 2sin x ;

21)

y = sin 2 2x ; 22)

y = sin x3 ; 23)

y = (2 − 3x)5 ;

24)

y = 4 (5 −8x)3 .

Найти дифференциал функции:

25)

y = x2 + 5x − 7 ;

26)

y =

x + 2

;

27) y = esin 3x ;

28)

y = cos5x .

x + 3

1) y

′

=

5x

4

− 4x

3

′

′

2

+1); 3) 24x

2

(x

3

−1);

; y

(0)=

0; y (−1)=9; 2) 4x(3x

4)

3x2 + 2x +18

; 5)

−

4x

; 6)

23

; 7)

10x

;

(3x +1)2

(x2 −1)2

(4x + 5)2

(x2 + 4)2

8) −

x2 + 4x +1

;

9)

4

1

1

;

10)

2 9 3

7

;

−

+

+

3 x

−

4 4

x

(x2 + x +1)2

x2

x3

x4

3

11)

2

+

4 −

6

;

12)

4

;

13) tg2 x ;

14)

116

x5

;

x

x

6

3

x

4

sin 2 2x

15)

7 t 3 t ;

16)

− 7sin x −5cos x ;

17)

2

; 18)

3

;

(2x −1)ln 3

x

3

19)

3(ln x)2

; 20)

1

cos x

; 21) 2sin 4x ;

x

+ 2sin x

6

22)

3x2 cos x3 ;

23) −15(2 −3x)4 ;

24)

−

4 5

;

dx

−8x

25)

(2x + 5)dx ;

26)

; 27)

3esin 3x cos3xdx

;

28) −5sin 5xdx ;

(x + 3)2

29)

y = −2x − 4;

y =

x

+

7

; 30)

y = −5x −3;

y =

1 x +

11 ;

2

2

5

5

31)

y =8x +16; y = −4x; y =8x −16 .