Praktikum_po_matematike

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

S = −∫x3dx = −

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

∫esin x cos x dx = ∫et dt = et + C = esin x + C .

Ответы: 1) −e x +C ; 2) esin x + C .

☺

Примеры 6. Найти интегралы:

1) ∫

5x4 +15x2

dx;

2) ∫

x2 dx

3) ∫sin x cos

x dx .

;

x5 + 5x3 +1

4x3 +1

Решения.

′

Если f (x) имеет вид

(x)

′

g(x) или g(x) g (x), то можно ввести новую

переменную t = g(x).Тогда

′

и интеграл упрощается.

dt = g (x)dx

1) Пусть x5 + 5x3 +1 =t, тогда (5x4 +15x2 )dx = dt и

∫

5x4 +15x2

dx = ∫

+ C

+ C .

= ln

x5 + 5x3 +1

2) Пусть 4x3 +1 =t , тогда 12x2 dx = dt

∫

x2 dx

∫

+C .

4x3 +1

3) Пусть cos x =t , тогда

dt = −sin x dx и

∫sin x cos

x dx = −∫t

dt = −

+ C = −

cos3 x

+ C .

Ответы: 1) ln

x5 + 5x3 +1

+ C;

4x3

+ C ;

3) −

cos3 x

+ C .

☺

Примеры 7. Найти интегралы:

1) ∫x ex dx; 2) ∫ln x dx; 3) ∫x cos x dx .

Решения.

Используем формулу интегрирования по частям.

1)Пусть U = x; dV = ex dx, тогда dU = dx, V = ex и

∫x ex dx = xex − ∫ex dx = xex − ex + C .

2)Пусть ln x =U; dx =dV , тогда dU = dxx , V = x и

∫ln x dx = x ln x −∫x xdx = x ln x − x +C .

3) Пусть x =U; cos x dx = dV , тогда dU = dx,	V =sin x и
∫x cos x dx = xsin x −∫sin x dx = x sin x +cos x +C .
Ответы: 1) xex − ex + C ; 2) x ln x − x + C ;	3) xsin x + cos x + C .

☺

8 . 6 . ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Найти интегралы:

1) ∫7x dx; 2) ∫4(x2 − x +3)dx; 3) ∫2(3x −1)2 dx; 4) ∫x−4 dx; 5) ∫dxx .

		Найти интегралы при помощи формул (1–3) (раздел 8.4):
6) ∫cos3x dx;				7) ∫e−10 x dx; 8) ∫sin(3x +4)dx; 9) ∫(2x +5)2 dx .
		Найти интегралы методом замены переменной:
10)	∫	x2 dx	;	11) ∫x(1 + x2 )5dx;		12) ∫sin x cos2 x dx;
		3 +5x3
		2 x			x2 dx		x dx
13)	∫3 x dx;			14) ∫	x3 +1 ; 15) ∫			; 16) ∫tg x dx .
							x2 +1
		Найти интегралы методом интегрирования по частям:
17)	∫x sin x dx; 18) ∫x ln x dx;					19) ∫arcsin x dx; 20) ∫x sin 2x dx .

				Ответы:
1) 7x + C; 2)								4 x3			− 2x2 +12x + C; 3) 6x3											− 6x2 + 2x + C;
				1				3									1 sin 3x + C;							−1e−10 x + C;
4) −				1			+ C;	5) 2			x + C; 6)											7)
4) −			3x3				+ C;	5) 2			x + C; 6)											7)
			3x3														3							10
8) − 1 cos(3x + 4)+ C; 9) (2x + 5)3 + C; 10)																							1		ln		3 + 5x3		+ C;
																							1

	3														6							15
	3														6							15
11)		1			(1 + x2 )6			+ C; 12) −						cos3 x					+ C;	13)		2 2 x + C;
11)	12				(1 + x2 )6			+ C; 12) −											+ C;	13)		2 2 x + C;
	12														3							3 ln 2
14)	2					x3 +1 + C;					15)	1	ln(x2				+1)+ C; 16) − ln									cos x		+ C;
	2											1
	3
											2					x2				x2											2
											2
17)	− x cos x + sin x + C; 18)																	ln x −			+ C;			19) x arcsin x +						1 − x		+ C;
17)	− x cos x + sin x + C; 18)																2	ln x −		4	+ C;			19) x arcsin x +						1 − x		+ C;
				x					1								2			4
20)	−			x		cos 2x +			1	sin 2x + C .
20)	−			2		cos 2x +				sin 2x + C .
				2				4

9. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9 . 1 . ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Для вычисления определённого интеграла от функции f (x) в том

случае, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл,

используют формулу Ньютона – Лейбница

b
∫f (x)dx = F(b)− F(a), где F (x)= f (x).
′
a		2) ∫e dx .
Например, вычислим определённые интегралы 1) ∫2	x2dx;	2) ∫e dx .
−1		1 x

Для вычисления интегралов воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница и найдём разность первообразных в точках верхнего и нижнего пределов:

2			x3 2		23		(−1)3
1) ∫x	2	dx =	x3 2		23		(−1)3
				=		−		= 3;
			3 −1	=	3		3	= 3;
			3 −1		3		3
−1

e		e
2) ∫dx
		= ln x

1	x	1

= ln e − ln1 =1 − 0 =1.

9 . 2 . ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Фигуру, заштрихованную на рис. 9.1 ( y = f (x)≥ 0 при x [a ; b]),

называют криволинейной трапецией.


Рис. 9.1. Криволинейная трапеция	Рис. 9.2. Функция S(ξ) как площадь
	криволинейной трапеции
	с переменной правой границей

Рассмотрим функцию S(ξ) – площадь криволинейной трапеции с переменной правой границей (переменной криволинейной трапеции), ограниченной графиком y = f (x), осью OX, вертикальной прямой x = a и


вертикальной прямой с переменным положением			x = ξ	(рис. 9.2).
	Положение		правой		границы
	трапеции		изменяется			вдоль
	оси	OX.		Переменная
	координата		правой		границы
	трапеции		–		текущее
	изменяющееся				значение
	независимой переменной x –
	здесь обозначена через ξ.
	ξ = a	Легко видеть, что при
		площадь		переменной
	криволинейной				трапеции
	S(a)	= 0. Обозначим			S(b)= S
	площадь			переменной
	криволинейной трапеции при
	ξ = b .					S(x) –
Рис.9.3. Приращение площади криволинейной		Покажем,		что
трапеции S(ξ) (заштриховано на рисунке)	первообразная				функции
при приращении аргумента ξ	y = f (x).

	При малых ξ				S(ξ)
			ξ: S(ξ)= S(ξ + ξ)− S(ξ)≈ f (ξ) ξ и		S(ξ)	≈ f (ξ).
			ξ: S(ξ)= S(ξ + ξ)− S(ξ)≈ f (ξ) ξ и			≈ f (ξ).
					ξ
Перейдём к пределу при ξ →0 :
lim	S(ξ)		′
			′
	ξ		= f (ξ) S (ξ)= f (ξ), т.е. S(ξ) – первообразная функции f (ξ).
x→0	ξ
Все первообразные запишем в виде: F(ξ)= S(ξ)+ C .
Тогда при ξ = a
			F (a)= S(a)+ C = 0 + C ,
откуда F (a)=C и F (ξ)= S(ξ)+ F(a).
Тогда при ξ = b имеем
		F(b)= S(b)+ F(a)= S + F(a)
			S = F(b)− F(a)= ∫b	f (ξ)dξ = ∫b			f (x)dx .
			a			a

В последнем равенстве сделана обратная замена переменной ξ на привычное x ( ξ → x ), так как обозначение переменной под знаком интеграла значения не имеет и мы полагали ξ = x с самого начала.

Геометрический смысл определённого интеграла. Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на [a; b] функции y = f (x),

осью OX и прямыми x = a и x = b .

9 . 3 . СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1) ∫b (f1 (x)+ f2 (x))dx =∫b f1 (x)dx + ∫b f2 (x)dx

(интеграл суммы равен сумме интегралов);

2) ∫b	k f (x)dx = k ∫b	f (x)dx, где k = const
a	a

(постоянный множитель можно вынести за знак интеграла);

3) ∫b f (x)dx = −∫a f (x)dx

(при перемене местами пределов интегрирования интеграл меняет знак); 4) ∫a f (x) dx = 0

a	(интеграл по отрезку нулевой длины равен 0);
	(интеграл по отрезку нулевой длины равен 0);
5) Если c [a; b], то ∫b	f (x)dx = ∫c	f (x)dx + ∫b	f (x)dx
a	a	c

(интеграл по отрезку равен сумме интегралов по частям отрезка).

9 . 4 . ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

1) Если f (x) непрерывна и неотрицательна на [a; b], то

S = ∫b f (x)dx (рис. 9.4).

2) Если f (x)≤ 0 на [a; b], то

S = −∫b f (x)dx (рис. 9.5).

3) Если f2 (x)≥ f1 (x) при

x [a; b], то S = ∫b (f2 (x)− f1 (x))dx

Рис. 9.4. Криволинейная трапеция	(рис. 9.6).
расположена в верхней полуплоскости

Рис. 9.5. Криволинейная трапеция	Рис. 9.6. Искомая площадь ограничена
расположена в нижней полуплоскости	графиками y = f2 (x) (сверху),	y = f1 (x)
	(снизу) и линиями x = a и	x = b

9 . 5 . РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Примеры 1. Вычислить определённые интегралы:

2	1	π 2
1) ∫(x2 + 2x +1)dx ;	2) ∫(x + sin x + x10 )dx ;	3) ∫esin x cos x dx .
−1	−1	0

Решения.

1) Найдём первообразную подынтегральной функции и вычислим интеграл по формуле Ньютона – Лейбница:

(x2

+ 2x +1)dx = 1 x3

+ x2

+ x

∫

−1

+ 2

−

(−1) +(−1)

+(−1)

= 9.

2) Используем свойства

определённого

интеграла

формулу

Ньютона – Лейбница:

∫1 (x + sin x + x10 )dx =

+ (− cos x)

x11

−1

=12 (1 −1)+ (− cos1 + cos(−1))+ 111 (1 +1)=112 .

3)Чтобы найти первообразную, введём новую переменную и сведём

интеграл к табличному, а затем используем формулу Ньютона – Лейбница.

Пусть sin x = y , тогда	cos dx = dy . При x = 0				y = 0 , при x =	π	y =1.
Тогда						2
Тогда					1
π 2				1


∫esin x cos x dx = ∫e y dy = e y					= e −1.
0		2		0	0
0				0	0
Ответы: 1) 9;	2)		;	3) e −1 .
Ответы: 1) 9;	2)		;	3) e −1 .
	11

☺

Примеры 2. Вычислить площади фигур, ограниченных:

1) линиями y = x2 − 2x + 2 , x = −1, x = 2 и отрезком [−1; 2] оси OX ;

2)линиями y = x3 и x = −1 иосьюOX ;

3)линиями y = x + 3 и y = x2 +1.

Решения.

1) Функция y = x2 − 2x + 2 положительна в своей области

определения (дискриминант =b2 − 4ac < 0 , следовательно, квадратный трёхчлен не имеет корней). Чтобы найти площадь, используем формулу площади криволинейной трапеции:

2	3	2	2	2
S = ∫(x2 −2x + 2)dx =

	x	−1 − x2	−1 + 2x	1 = 6 .
	3

−1

2) На отрезке [−1;0] функция y = x3 принимает отрицательные

значения (рис. 9.7), поэтому площадь искомой фигуры можно вычислить

по формуле S = −∫b f (x)dx :

Рис. 9.7. Искомая площадь ограничена	Рис. 9.8. Искомая площадь ограничена
сверху осью OX , снизу — графиком	графиками y = x +3 (сверху)
функции y = x3	и y = x2 +1 (снизу)

3) Постоим график функций y = x + 3 и y = x2 +1 (рис. 9.8). Площадь искомой фигуры равна разности определённых интегралов

S = ∫b (x + 3)dx − ∫b (x2 +1)dx .

			a				a
	Чтобы найти пределы интегрирования, найдём абсциссы точек
пересечения графиков функций y = x + 3 и y = x2 +1:
	x + 3 = x2 +1 x = a = −1; x							2	=b = 2 .
Тогда					1			2
Тогда																2
S = ∫2 (x + 3)dx − ∫2 (x2 +1)dx = ∫2 (− x2 + x + 2)dx = −										x3	2		1 x2	2	+ 2x		9 .

												+				=


−1	−1			−1						3	−1		2	−1			2
−1	−1		1	−1		9				3	−1					−1
	Ответы: 1) 6;	2)		;	3)		.



		4			2

☺

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20254 Мб4practic.docx
#
29.08.20192 Мб7Practical information groups 2012-ENG.doc
#
28.09.201944 Кб3praktika_letnyaya_2_kurs.docx
#
01.07.202571 Кб1praktiko-znachimyy_proekt_na_kursah_2012_g.docx
#
01.07.20251 Мб2Praktikum_po_logistike.doc
#
21.03.20161 Мб14Praktikum_po_matematike.pdf
#
01.07.2025724 Кб1pravila_modioring_rus (1).doc
#
01.07.20251 Мб1Pravila_odnim_faylom_WH16.doc
#
17.09.2019352 Кб5pravila_Oformlenia_Studencheskikh_Vypus.doc
#
01.05.202545 Кб0PRAVILA_OFORMLENIYa_STAT_I (2).docx
#
16.04.2015195 Кб9Pravila.doc