Praktikum_po_matematike

Следовательно, прямая y =1 является горизонтальной асимптотой графика

Следовательно, прямая x = −2 тоже является вертикальной асимптотой графика функции.

Для отыскания горизонтальной асимптоты найдём

Следовательно, прямая y = 0 – горизонтальная асимптота. Наклонных асимптот у графика этой функции нет, так как

k = lim f (x)= lim 4(x2 − 4)= 0 .

x→∞ x→∞ x

Чтобы найти экстремумы и интервалы монотонности, проведём исследование функции с помощью производной.

Занесём данные для критических точек и интервалов между ними в таблицу:

80

Итак, k =1; b = −3 , следовательно, наклонной асимптотой к графику функции является прямая y = x −3.

Чтобы построить график, исследуем функцию с помощью производной.

свертикальной асимптотой x = −3

инаклонной асимптотой y = x −3

ymax = f (− 6)= −12;

ymin = f (0)= 0.

82

Ответы: 1) вертикальная асимптота x =3 , горизонтальная асимптота y =1, наклонных асимптот нет;

2)вертикальные асимптоты x = ±2 , горизонтальная асимптота y = 0 , наклонных асимптот нет;

3)вертикальная асимптота x = −3 , горизонтальных асимптот нет, наклонная асимптота y = x −3.

☺

Пример 2. Исследовать функцию y =1 +1x2 и построить график.

Решение. Исследование функции и построение графика можно проводить по следующей схеме:

1)область определения функции (D ( f ));

2)точки разрыва и вертикальные асимптоты;

3)чётность, нечётность, периодичность;

4)точки пересечения графика с осями координат;

5)поведение функции на бесконечности: горизонтальные и наклонные асимптоты;

6)интервалы монотонности и экстремумы, точки перегиба.

Для функции y =1 +1x2

1)D(f )= R ;

2)точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

3)функция чётная (график симметричен относительно оси OY ),

непериодическая;

(0)=1; y ≠ 0, y > 0 при x (график лежит в верхней

83

Рис.7.7. График функции y = 1 +1x2

Ответ: график см. рис. 7.7.

☺

7.5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

4) x = −5; x =5; y = 0 ; 5) x = 0 и y = x + 6 ; 6) x = 0; y = x ; 7) x = 4; y = x −1; 8) y = 0.

84

2.d ∫f (x)dx = f (x)dx;

3.∫f ′(x)dx = f (x)+ C ;

4.∫d f (x)= f (x)+ C ;

5.∫a f (x)dx = a ∫f (x)dx , где a = const ;

6.∫(f1 (x)+ f2 (x))dx = ∫f1 (x)dx + ∫f2 (x)dx

8 . 3 . ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

8 . 4 . МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Метод замены переменной

Если ∫f (x)dx = F(x)+C , то:

86

1) ∫f (ax)dx = 1a F(ax)+C ; 2) ∫f (x + b)dx = F(x + b)+ C ;

∫f (x)dx = ∫gg′((xx))dx = ∫dtt = ln t +C = ln g(x) +C ,

∫f (x)dx = ∫g(x) g′(x)dx = ∫tdt = t22 +C = (g(2x))2 +C .

Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям:

∫udv =u v − ∫v du ,

где u =u (x) и v = v(x).

Метод интегрирования по частям используют, когда интеграл в правой части проще (ближе к табличному), чем интеграл в левой части.

8 . 5 . РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Примеры 1. Доказать, что функция F(x) есть первообразная функции f (x)при x R :

1) F(x)= x5 ; f (x)=5x4 ;

87

Решения. Воспользуемся свойствами 2) и 3) неопределённого интеграла, а также таблицей интегралов.

1) ∫(3x2 + x +1)dx = ∫3x2 dx + ∫x dx + ∫dx =

☺

Пример 3. Найти интеграл ∫sin 2 xdxcos2 x .

Решение. Для вычисления интеграла надо преобразовать подынтегральную функцию.

88

Учитывая основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos2 x =1, получим:

Решение. I способ. Используем метод замены переменной (раздел 8.4):

если ∫f (x)dx = F(x)+C , то ∫f (ax)dx = 1a F(ax)+ C .

Следовательно, ∫cos 5x dx = 15 sin 5x + C .

IIспособ. Пусть 5x =t , тогда dt =5 dx .

∫cos5x dx = ∫cost dt5 = 15 ∫cost dt = 15 sin t +C = 15 sin 5x +C .

Примеры 5. Найти интегралы:

Решения. Найдём интегралы методом замены переменной. 1) Пусть 1x =t, тогда x =1t dx = −tdt2 и

2) Пусть sin x =t, тогда cos x dx = dt и

89